həndəsə

1.  ƏN SADƏ HƏNDƏSİ FİQURLARIN ƏSAS XASSƏLƏRİ

1.Həndəsi fiqurlar

Həndəsə - həndəsi fiqurların xassələri  haqqında  elmdir.

GEOMETRIYA yunan sözüdür. Azərbaycan dilində tərcümasi, YERÖLÇMƏ deməkdir.

Həndəsi fiqurlara aid nümunələr:

                                   üçbucaq,                   kvadrat,                   çevrə

 

Məktəbdə öyrənilən həndəsə riyaziyyatdan  başlnanğıc adlı əsər  yazməş Evlikdin adı ilə evklid həndəsi adlanır. Həndəsənin öyrənilməsi planimetriyadan başlayır.

Planimetriya həndəsənin müstəvi üzərindəki  fiqurları öyrənən bölməsidir. Müstəvi üzərində əsas həndəsi fiqurlar nöqtə və düz xətdir

 

Düz xətt sonsuzdur.

Düz xəttin verilmiş iki nöqtəsi  arasındakı bütün nöqtələrindən  ibarət hissəsinə  parça deyilir. Bu nöqtələr parçanın ucları adlanır.

 

Düz xətt üzərindəki üç nöqtədən biri və yalnız biri digər ikisi arasındadır.

Parçanı ölçmək üçün müxtəlif ölçü alətlərindən istifadə olunur.

A B parçasınlın uzunluğu A və B nöqtələri arasındakı məsafəyə deyilir.

Hər bir bucağın sıfırdan  böyük müəyyən dərəcə ölçüsü var

Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən və bu nöqtələri cüt-cüt birləşdirən üç parçadan  ibarət olan  fiqura üçbucaq deyilir: Δ ABC

Üçbucağın təpəsini onun qarşısındakı tərəfin ortası ilə birləidirın parçaya üçbucağın verilmiş  təpəsindən çəkilmiş medianı deyilir.

Üçbucağın A təpəsindəki bucaq AB və AC yarım düz xətlərinin əmələ gətirdiyi  bucağa deyilir.

İsbat olunan hökm teorem adlanır.

Teoremin ifadəsi adətən iki hissədən ibarət olur. I hissədə nə verildiyi göstərilir.  II hissədə nə isbat ediləcəyi göstərilir.

İki tərəfi bərabər olan üçbucağa bərabəryanlı üçbucaq deyilir.

Üçbucağın bərabər tərəflərinə onun yan tərəfləri, III tərəfinə isə oturacağı deyilir.

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərfli üçbucaq deyilir.

Planimetriya aksionlarının təkrarı

Həndəsə kursunun məntiqi qurulmasında aksiomların müstəsna əhəmiyyatini  nəzərə alaraq planimetreyanın aksiomlarını yadımıza salaq:

 

1)   Aidolma aksiomu. Düz xəttin üzərində olan nöqtələr və onun üzərində olmayan nöqtələr var.

2)   Düz xətt aksiomu. İki nöqtədən bir yalnız bir düz xətt keçir.

3)   Nöqtələrin düz xətt üzərində yerləşməsi aksionu. Düz xəttin ixtiyari 3 nöqtəsindən  biri yalniz biri qalan ikisi arasında yerləşir.

4)   Düz xəttin bölünməsi  aksionu. Düz xəttin ixtiyari A nöqtəsi bu düz xəttin  qalan nöqtələrini aşağıdakı şərtləri ödəyən iki çoxluğa ayırır: eyni çoxluğa aid iki nöqtə  A nöqtəsinin bir tərəfində yerləşir, müxtəlif çoxluqlara aid iki nöqtə  A  nöqtəsinin  müxtəlif tərəfində yerləşir.

5)   Parçaların ölçülməsi aksiomu. Uzunluq vahidi seçməklə hər bir parçanın uzunluğunu ölçmək olar, yəni onun uzunluğunu müsbət ədədlə ifadə etmək olar.

6)   Parçaların toplanması aksiomu. Parçanın uzunluğu, onun hər hansı daxili nöqtəsi ilə  bölündüyü parçanın uzunluqları cəminə bərabərdir.

7)   Parçanın ayrılması aksiomu. Şüanın baılanğıcından uzunluğu verimiş, bir və yalnız bir parça ayırmaq olar.

8)   Bucaqın ölçülməsi aksiomu. Hər bir bucağın sıfırdan böyük müəyyən dərəcə ölçüsü var. Açıq bucaq 180^{0 –} yə bərabərdir.

9)   Bucaqların  toplanması alsiomu. Bucağın dərəcə ölçüsü, onun daxili şüası ilə bölündüyü bucaqların dərərcə ölçüləri cəminə bərabərdir

10)   Tusi – Paş aksiomu. Üçbacağın təpələrindən keçməyən düz xətt onun bir tərəfini  kəsirsə, onda həmin düz xətt digər iki tərəfdən yalnız birini kəsir.

11)   Bucağın ayrılması aksiomu.  Istənilən şüadan başlayaraq verilmiş yarım müstəvidə bir tərəfi həmin süa olan və dərəcə ölçüsü 180⁰-dən kiçik bir yalnız bir bucaq qurmaq olar.

12)   Üçbucaqların bərabərliyini birinci əlaməti. Bir üçbacağın iki tərəfi və onlar arasındakı  bucaq,  uyğun olraq , o biri üçbucaqın  iki tərərfi və onlar arasındakı bucağa bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

13)   Paralellik aksiomu. Düz xətttin üzərində  olmayan nöqtədən bu düz xətt ən çoxu bir paralel düz xətt çəkmək  olar.

Aşağıdakı aksiomlar sadə fiqurların  sahələrinin mühüm xassələrini ifadə edir.

14)   Sahənin varlığı aksiomu  Hər bir sadə fiqurun seçilmiş  ölçü  vahidi ilə ifadə olunan müsbət   sahəsi var

15)   Sahənin bərabərlik aksiomu. Bərabər üçbucaqların sahələri bərabərdir.

16)   Sahənin toplanması aksiomu. Əgər sadə fiqur  ortaq daxili nöqtəsi olmayan sonlu sayda sadə fiqurlardan ibarətdirsə, bu fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahəsi cəminə bərabərdir.

17)   Sahə vahidi aksiomu. Tərəfi a olan kvadratın sahəsi a ² –na bərabərdir

Stereometriya

Həndəsənin fəza fiqurlarını öyrənən bölməsi stereometriya (yunan sozü : Stereos- fəza, metreo-ölçürəm) adlanır. Streometriyada baxılan bütün nöqtələr çoxluğuna fəza deilir

Stereometriyada üç anlayış: nöqtə, düz xətt  və müstəvi tərifsiz  qəbul olunur.

Həndəsədə  istənilən nöqtələr çoxluğu fiqur adlanır.

Nöqtə, düz xətt, müstəvi və fəza da fiqurlardır.

Planimetriyada bilidiyimiz bütün işarələr stereometriyada da öz mənasında işlədilir. Müstəviləri, adətən, yunan əlifbasının kiçik hərfləri ilə işarə edirlər. α, β, γ  və s. A, B və C nöqtələrindən  keçən müstəvini isə (α, β) kimi işarə edirlər.

Əsas anlayişlarin  ən mühüm xassələri streometriya aksiomlarında ifadə olunur.

AKSİOM 1 ( aidlik aksiomu) Fəzada düz xəttlər və müstəvilər var. Hər bir düz xəttə və hər  bir müstəviyə aid olan və aid olmayan nöqtələr var.

                                        A   α

                                        B  α

AKSİOM 2 ( Müstəvi aksiomu) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir

AKSİOM 3 ( planametriya aksiomu) Planametriyanıın bütün alsiomları və teoremləri  fəzanın hər bir  müstəvisində doğrudur.

Fəzada müstəvilərin iki qarşılıqlı vəziyyəti ola bilər, ortaq nöqtəsi olan müstəvilərə kəsişən, ortaq nöqtəsi olmayan müstəvilərə kəsişməyən müstəvilər deyilir.

 

AKSİOM 4 ( Müstəvilərin kəsişmə  aksiomu) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtələrdən keçən düz xətt boyunca kəsişirlər

AKSİOM 5 ( Fəzanın bölünməsi  aksiomu) Fəzadakı hər bir müstəvi fəzanın bu müstəviyə aid olmayan nöqtələrini aşağıdakı  şərti ödəyən iki çoxluğa ayrılır: a)   Eyni çoxluğa aid olan ixtiyari iki nöqtəni birləşdirən parça  bu müstəvini kəsmir. b)    Müxtəlif  çoxluqlara aid olan istənilən iki nöqtəni birləşdirən parça müstəvini kəsir.

α  müstəvisi ilə  bu çoxluqların birindən  ibarət fiqura sərhəddi α müstəvisi olan yarımfəza  deyilir.

Müxtəlif müstəvilərdə yerləşən  qabarıq çoxbucaqların  bərabərliyi və oxşarliğı da planimetriyada olduğu kimi qəbul edilir.

STEREOMETRİYA AKSİOMLARINDAN ALINAN NƏTİCƏLƏR

Stereometriya aksiomlarından bir necə mühüm nəticələr alınır. Bu nəticələr aşağıdakı teoremlərlə ifadə olunur.

Teorem 1: Düz xəttin müstəviyə aidliyi

Düz xətlə müstəvinin  iki ortaq nöqtəsi varsa, bu düz xətt müstəvi üzərindədir.

İsbatı: Tutaq ki, a düz xəttinin A və B nöqtələri α müstəvisi üzərindədir.  a düz xəttinə  və  α müstəvisinə  aid  olmayan M  nöqtəsi  götürək.

β

A, B  və M nöqtələrindən β müstəvisi keçirək  (aksiom 2).  α  və  β  müstəvilərinin kəsişmə xətti A və B nöqtələrindən keçdiyinə görə a düz xətti ilə üst-üstə düşür.

Kəsişmə xəttinin hər bir nöqtəsi α müstəvisinin nöqtəsi olduğundan a düz xəttinin də hər bir nöqtəsi α müstəvisinin nöqtəsidir. Yəni a düz xətti α müstəvisi üzərindədir. Teorem isbat olundu.

Teorem 2:

Düz xətt və ona aid olmayan nöqtədən bir və yalnız müstəvi keçir

Teo İsbatı: Verilən  düz  xətt a, ona aid olmayan  nöqtə  isə  A  olsun.  a  düz xətti üzərində B və C nöqtələri götürək. A, B və C nöqtələri  bir  düz xətt üzərində olmayan  üç  nöqtə  olduğundan  bir  və yalnız müstəvi keçir (aksiom 2). Bu müstəvini α adlandıraq. Teorem 1-ə əsasən a düz xətti α müstəvisi üzərindədir. A nöqtəsi də α müstəvisi üzərində olduğundan bu, tələb olunan müstəvidir. Göstərək ki, bu müstəvi yeganədir. Doğrudan da a düz xəttindən və A nöqtəsindən keçən istənilən müstəvi bir düz xətt üzərində olmayan A, B və C nöqtələrindən keçdiyi üçün α müstəvisi ilə eynidir (aksiom 2). Teorem isbat olundu.

Teorem 3:

Iki kəsişən düz xətdən bir və yalnız bir müstəvi keçir

 

FƏZADA XƏTLƏRİN PARALELLİYİ

Fəzada bir ortaq nöqtəsi olan iki düz xətlə kəsişən düz xəttlər deyilir. Bir müstəvi üzərində olan və kəsişməyən  düz xətlərə paralel düz xətlər deyilir.

Teorem 1:

Fəzada düz xətt xaricində götürülmüş nöqtədən həmin düz xəttə paralel bir və yalnız bir düz xətt keçir

.A

Teorem 2:

Eyni bir düz xəttə paralel olan iki düz xətt paraleldir

Teorem 3:

Müstəvi üzərinda olmayan düz xətt, müstəvi üzərindəki hər hansı bir düz xəttə paraleldirsə, onda  bu müstəvinin özünə də paraleldir

Teorem 4:

Bir müstəvi β ikinci müstaviyə (α) paralel olan düz xətdən (a) keçib və onu kəsərsə, alınan kəsişmə xətti (a1) verilən düz xəttə (a) paralel olar.

Çarpaz düz xətlər. Bir müstəvi üzərində olmayan düz xətlərə çarpaz düz xətlər deyilir.

Teorem 5: düz xətlərin çarpazlıq əlaməti

İki düz xətdən biri ikincisindən keçən hər hansı müstəvini ikinci düz xəttə aid olmayan nöqtədə kəsərsə, onda bu düz xətlər çarpazdır

Paralel Müstəvilər

Bilirik ki, iki müstəvinin  bir ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən  düz xətt boyunca kəsişir. Belə müstəvilərə kəsişən müstəvilər deyilir.

 

İki müstəvinin bir düz xətt üzərində olmayan üç ortaq nöqtəsi olarsa, onlar üst-üstə düşür, yəni eyni müstəvi olur.

 

Ortaq nöqtəsi olmayan müstavilərə paralel müstəvilər deyilir. α//α1

Teorem 10 Müstəvilərin paralellik əlaməti

Bir müstəvinin iki kəsişən düz xətti, uyğun olaraq, o biri müstəvinin iki kəsişən  düz xəttinə paraleldirsə, bu müstəvilər paraleldir.

Nəticə: Iki çarpaz düz xətdən bir-birinə paralel, yalnız iki müstəvi keçir.

Teorem 11

Iki paralel müstəvini üçüncü müstəvi kəsirsə, alınan kəsişmə xətləri paraleldir.

Teorem 12

Paralel düz xətlərin paralel müstəvilər arasında qalan parçaları bərabərdir.

Fəzada perpendikulyar düz xətlər. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı.

Fəzada düz bucaq əmələ gətirən iki düz xəttə perpendikulyar düz xətlər deyilir. A və b düz xətlərin perpendikulyarlığı ab kimi işarə olunur.

 

Fəzəda düz xəttin xaricində götürülmüş nöqtədən onu kəsən bir perpendikulyar düz xətt, düz xəttin üzərindəki nöqtədən isə sonsuz sayda perpendikulyar düz xətt keçirmək olar.

Teorem 13 Paralel düz xətlərə perpendikulyar düz xətt

Paralel düz xətlərdən birinə perpendikulyar olan düz xətt onların hər birinə perpendikulyardır

Teorem 14. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlıq əlaməti

Müstəvini kəsən düz xətt, onun üzərindəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəvinin özünə də perpendikulyardır.

Müstəvini kəsən və onun üzərindəki hər bir düz xəttə perpendikulyar olan düz xəttə, müstəviyə perpendikiulyar düz xətt, müstəviyə düz xəttə perpendikulyar müstəvi deyilir.

Teorem 15. Nöqtədən  müstəviyəı perpendikulyar

Fəzanın ixtiyari nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar bir və yalnız bir düz xətt keçirmək olar

Perpendikulyar və mail.

Paralel proyeksiyada istiqamət proyeksiya müstəvisinə paralel olmayan düz xətdir. Bu düz xətt xüsusi halda həmin müstəviyə perpendikulyar ola bilər.

     İstiqaməti proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan paralel proyeksiyaya ortoqonal proyeksiya deyilir.

A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu düz xəttin α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi A₁ olsun AA₁ parçasına A nöqtəsindən α müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar deyilir. A₁ nöqtəsinə perpendikulyarın müstəvi üzərindəki oturacağı deyilir. A₁ nöqtəsinə perpendikulyarın müstəvi üzərindəki oturacağı deyilir.

A  nöqtəsi  ilə  α  müstəvisinin  qalan

nöqtələrini birləşdirən parçalara mail deyilir.

Mailin   müstəvi   üzərindəki   üç   nöqtəsinə

onun   oturacağı   deyilir.   Mailin  oturacağı

ilə  perpendikulyarın oturacağını  birləşdirən

parçaya mailin proyeksiyası deyilir.

A  nöqtəsindən  müstəviyə  ancaq bir

perpendikulyar, sonsuz sayda mail çəkmək mümkündür. AA₁ perpendikulyar, AM mail, A₁M proyeksiyadır.

Teorem

Bir nöqtədən müstəviyə çəkilmiş maillər bərabərdirsə, onların proyeksiyaları da bərabərdir. Tərsinə, bir nöqtədən müstəviyə çəkilmiş maillərin proyeksiyaları bərabərdirsə, onların özləri də bərabərdir.

Qeyd. Bundan sonra proyeksiya dedikdə ortoqonal proyeksiya başa düşəcəyik və şəkildə istiqaməti göstərməyəcəyik

Üç perpendikulyar teoremi.

Həndəsə 3 perpendikulyar teoremi adı ilə  məşüu olan aşağıdakı toremin  böyük əhəmiyyəti vardır.

Teorem 17. Üç perpendikulyar teoremi

Müstəvi üzərində olan düz xətt, ailini  bu müstəvi üzərindəki proyeklsiyasına perpendikulyardırsa,  bu mailin özünədə perpendikulyardır.  TƏRSİNƏ,   müstəvi üzərində olan düz xətt mailə perpendikulyardırsa, mailin bu müstəvi üzərindəki proyreksiyasına da perpendikulyardır.

İkiüzlü bucaqlar

Planimetriyada bucağa belə bir tərif vermişik: bir nöqtədən çıxan iki şüadan ibarət fiqura bucaq deyilir.

Fəzada bucaq anlayışı oxşar qaydada verilir  və ona ikiüzlü bucaq deyilir.

Sərhədləri eyni olan iki yarım müstəvidən ibarət fiqura ikiüzlü bucaq deyilir. Yarım müstəvilərə ikiüzlü bucağın üzləri onların ortaq sərhəddinə isə ikiüzlü bucağın tili deyilir

İstənilən iki üzlü bucaq fəzanın ona aid olmayan nöqtələrini  iki çoxluğa ayırır.

İkiüzlü bucaq və onun daxili oblastından ibarət fiqura da ikiüzlü bucaq deyilir. Sərhəddi a, üzləri α və β  olan iki üzlü bucaq < (αaβ ) və ya < (αβ) kimi işarə olunur.

İkiüzlü bucağın tilinə perpendikulyar müstəvi ilə kəsişməsindən alınan müstəvi bucağa ikiüzlü bucağın xətti bucağı deyilir

İkiüzlü bucağın xətti bucağının qiymətinə İkiüzlü bucağın qiyməti deyilir

Ikiüzlü bucağın qiyməti 0⁰ ilə 180⁰ arasında olur. Qiymətləri bərabər olan ikiüzlü bucaqlara bərabər ikiüzlü bucaqlar deyilir.

Perpendikulyar müstəvilər

Kəsişən iki müstəvi arasındakı bucaq düz bucaq olduqda onlara perpendikulyar müstəvilər deyilir. < (αβ)=90⁰ və ya αβ

Teorem 18. Müstəvilərin perpnedikulyarlıq əlaməti

Əgər iki müstəvidən biri o biri müstəviyə perpendikulyar düz xətdən keçərsə, onda bu müstəvilər perpendikulyardır.

Teorem

Qarşılıqlı perpendikulyar iki müstəvidən birinin üzərində, onların kəsişmə xəttinə perpendikulyar çəkilmiş düz xətt ikinci müstəviyə perpendikulyardır

αβ, αβ = b və a b

 

ÜÇÜZLÜ BUCAQ.

Ortaq S təpəsi olan və bir müstəvi üzərində olmayan (a1|a2), (a2.a3), və (a3.a1), bucaqlarının əmələ gətirdiyi fiqura üçüzlü bucaq deyilir.

S – üçüzlü bucağın təpəsi, a₁,a₂, a₃ sualları tilləri (a₁a₂), (a₂a₃), (a₃a₁) müstəvi bucaqları və ya üzləri adlanır. Müstəvi bucaqların qiyməti (0⁰, 180⁰) olur.

Teorem  Üçüzlü bucaqın əsas xassələri

Üçüzlü bucağın  hər bir müstəvi bucağı onunqalan iki müstəvi bucağın cəmindən kiçikdir

Teorem  Üçüzlü müstəvi bucaqlarının cəmi 3600-dən kiçikdir.

Çoxüzlü Bucaq

Ortaq S təpəsi olan və bir müstəvi üzərində olmayan (a1.a2), (a2.a3), (a3.a4), (a4.a5), (a5.a6), ... (ana1)  müstəvi bucaqların əmələ gətirdiyi  fiqura çoxüzlü bucaq deyilir.

S-ə çoxüzlü  bucağın təpəsi a₁, a₂, a₃,.......a_n şüalarına onun tilləri, (a₁.a₂), (a₂.a₃),  (a₃.a₄)..... (a_n.a₁) bucaqlarına onun müstəvi bucaqları və ya üzləri, qonşu üzləri əmələ gətirdiyi iküzlü  bucaqlara, onun tillərindəki ikiüzlü bucaqları deyilir.

 

Çoxüzlü  bucağın qonşu olmayan müstəvi bucaqları kəsişmir. Çoxüzlü bucağın təpə nöqtəsi birinci olmaqla şuaların adı dairəvi  düzülərək yazılır: S a_1... a_n,  və ya SA₁,A₂.......A_n

Hər bir çoxüzlü bucaq fəzanın ona aid olmayan nöqtələrini iki çoxluğa ayırır. Bu çoxluqlardan birinin ixtiyari nöqtəsindən keçən düz xətt verilmiş çox üzlü bucağı kəsir.

Hər bir üzününü müstəvisindən bir tərəfə qalan çoxüzlü bucağa qabarıq çoxüzlü bucaq deyilir. Çoxüzlü bucağın bütün tillərini kəsən müstəvi keçirik. Bu müstəvi ilə çoxüzlü bucağın kəsişməsindən alınan çoxbucaqlı qabarıq olduqda, çoxüzlü bucaq da qabarıq olur.

Çoxüzlü bucağın hər bir müstəvi bucağı qalan müstəvi bucaqlarının cəmindən kiçikdir.

Çoxüzlü bucağın bütün müstəvi bucaqlarının cəmi 3600 dən kiçikdir

Çoxüzlü anlayışı Prizma və onun növləri

Cisim və səth

Stereometriyanın əsəs predmeti həndəsi cisimlər və onların səthidir. Həndəsi cisim və yaxud sadə cisim anlayışı həyatdan, praktikadan, təbiətdən götürülmüşdür. Həndəsi cisim-real mövcud olan fiziki cismin fəzada tutduğu hissədir. Fiziki cismin fiziki və digər xassələri həndəsi cisimdə nəzərə alınmır. Həndəsi cisim üçün mühüm keyfiyyət real fiziki cismin forması və tutduğu fəza hissəsidir.

Cismə aid olmayan nöqtədən cismin səthinin ən yaxın nöqtəsinə qədər məsafəyə nöqtədən  cismə qədər məsafə deyilir.

Çoxüzlü

Səthi sonlu sayda müstəvi çoxbucaqlılardan ibarət olan cismə çoxüzlü deyilir

Çoxüzlülər olduqca mürəkkəb quruluşa malik ola bilər. Evləri, binaları, stolları nəzərdən keçirməklə siz bunu əyani  görə bilərsiniz. Kristallar təbiətdə olan real çoxüzlülərdir. Çoxüzlünün səthini təşkil edən müstəvi çoxbucaqlılara çoxüzlünün üzləri deyilir. Çoxbucaqlının tərəflərinə çoxüzlünün tilləri deyilir. Çoxüzlünün təpə nöqtələrində olan  Çoxüzlü bucağa onun Çoxüzlü bucağı deyilir. Çoxüzlünün sərhəddi  müstəvi çoxbucaqlılardan təşkil olunmuş Çoxüzlü səthdir..

İstənilən üzünün müstəvisinin  bir tərəfində qalan çoxüzlüyə qabarıq Çoxüzlü deyilir

Bir üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən parçaya Çoxüzlünün diaqonalı deyilir. Düzgün tetraedrin dioqanalı yoxdur. Kubun isə dörd dioqanalı vardır.

Çoxüzlüləri təpələrindəki hərflərin hamısını yazmaqla və ya qısa olaraq bir diaqanalın uclarındakı hərflərlə işarə edirlər. Çoxüzlü üzlərinin sayı ilə adlandırılır: dördüzlü(tetreadr), beşüzlü (pentaedr), altıüzlü (hekseadr).

Prizma

İki üzü paralel müstəvilər üzərində olan çoxbucaqlı, qalan üzü paraleloqram olan çoxüzlüyə prizma deyilir. Paralel müstəvilər oturacaqlar adlanır.

Prizmanın oturacaq müstəviləri arasındakı məsafəyə prizmanın hündürlüyü deyilir.

Yan tili oturacağına perpendikulyar olan prizmaya düz, perpendikulyar olmayan prizmaya mail prizma deyilir.

Prizmanın bir üzünə aid olmayan iki yan tilindən keçən müstəvi ilə kəsişməsinə onun diaqonal kəsiyi deyilir.

Prizmanın oturcağına paralel müstəvi ilə kəsiyi oturacaqlara paralel və onlara bərabər çoxbucaqlıdır. Prizmanın bir üzü üzərində olmayan iki təpəsini  birləşdirən parçaya onun diaqonalı deyilir. Üçbucaqlı prizmanın diaqonalı yoxdur.

 

Oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmaya düzgün prizma deyilir Prizmanın yan tilinə perpendikulyar müstəvi ilə kəsişməsindən alınan çoxbucaqlıya  onun perpendikulyar kəsiyi deyilir

Düz prizmada perpendikulyar kəsik oturacaqlara, yan til isə prizmanın hündürlüyünə bərabərdir.

Prizmanın üzlərinin sahələri cəminə prizmanın tam səthinin sahəsi və ya, sadəcə tam səth deyilir.

Yan üzlərinin sahələri cəminə prizmanın yan səthinin sahəsi deyilir.

Teorem.  Prizmanın yan səthi

Prizmanın yan səthinin sahəsi onun perpendikulyar kəsiyinin perimetri ilə yan tilinin uzunluğu hasilinə bərabərdir.

S_yan=P*L

Nəticə Düz prizmanın yan səthinin sahəsi onun oturacağının perimetri ilə hündürlüyü (yan tili) hasilinə bərabərdir.

S_yan=P_ot*H

Tam səthi tapmaq üçün yan səthin sahəsini oturacaqların sahələrini əlavə etmək lazımdır.

S _tam = S _yan + 2 S ot

Düzbucaqlı paralelepiped

Oturacağı düzbucaqlı olan düz paralelepipedə düzbucaqlı paralelepiped deyilir

 Düzbucaqlı paralelepipedin bütün üzləri düzbucaqlıdır. Onun 12 tili vardır və bir təpədən çıxan tillərinə onun ölçüləri deyilir. Bu ölçülər en, uzunluq və hündürlük adlanır. Düzbucaqlı paralelepiped şəklində  olan əşyaların və cisimlərin ölçüləri axbxc kimi yazılır. Məsələn  qutunun üzərində olan 40 x 70 x 30 yazısı qutunun eninın 40 sm  uzunluğunun 70 sm və hündürlüyünün, 30 sm olduğunu göstərir. Onun bütün tillərinin uzunluqları cəmi P=4(a+b+c), tam səthinin sahəsi: S₁=2(ab+bc+ac). Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və həmin nöqtədə yarıya bölünür.  

Teorem 25.

Düz bucaqlı paralepipedin dioqanalının kvadratı onun bir tərədən çıxan tillərinin (üç ölçüsünün) kvadratının cəminə bərabərdir.

d²=a²+b²+c²

Ölçüləri bərabər olan düzbucaqlı paralelepipedə kub (heksaedr) deyilir

Kubun tili a və diaqonalı d olarsa, olar. Tillərinin uzunluqları cəmi: P=12a, tam səthinin sahəsi: S=6a², dioqanal kəsiyinin sahəsi:

PIRAMIDA

Bir çoxüzlü bucaq götürək və onun bütün tillərini kəsən müstəvi keçirək. Çoxüzlü bucaqın S təpəsinin aid olduğu yarımfəzada SABDEF çoxüzlüsü alınır. Bu çoxüzlünün bir üzü ABCDEF çoxbucaqlısı qalan üzləri isə bir təpəsi S olan ortaq təpəsi üçbucaqlıdır. ASB, BSC,........, FSA, belə çoxüzlülər piramida adlanır.

Ortaq təpəli üçbucaqlara piramidanın yan üzləri, onların birləşməsinə piramidanın yan səthi, çoxbucaqlıya piramidanın oturacağı, bütün yan üzlərin ortaq tərəfinə piramidanın yan tilləri, təpədən oturacaq müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyara piramidanın hündürlüyü deyilir.

S   Bir üzü hər hansı çoxbucaqlı, qalan üzləri ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoxüzlüyə piramida deyilir.

Piramida Oturacağındakı çoxbucaqlının adı ilə adlandırılır. Üçbucaqlı, dördbucaqlı, beşbucaqlı,....... n bucaqlı piramida

Yan üzdə təpədən oturacağın tərəfinə çəkilmiş hündürlüyə apofem deyilir.(SM)

Oturacağı düzgün çoxbucaqlı və hündürlüyünün oturacağı bu çoxbucaqlının mərkəzi olan piramidaya düzgün piramida deyilir.

Düzgün piramidanın hündürlüyünün saxlayan düz xəttə onun oxu deyilir.

Teorem 26.

Düzgün piramidanın yan səthinin sahəsi oturacağın perimetri ilə apofemi hasilinin yarısına bərabərdır.

Piramidamım tam səthinin sahəsi yan səthinin sahısi ilə oturacağının sahəsinin cəminə bərabərdir.

S _tam = S _yan + S o_t

KƏSIK PİRAMİDA

Bir piramida götürək və onu oturacağına paralel müstəvi ilə kəsək. Onda S nöqtəsindən çıxan süaları kəsən iki paralel müstəvi alırıq (kəsik və oturacaq.)

 

Teorem 27.   Piramidada paralel kəsik

Piramidanın oturacağına paralel və onun kəsən müstəvi: 1)   piramidanın yan tillərini və hündürlüyünü mütanasib parçalara böür 2)   kəsikdə alınan  çoxbucaqlı oturacağa oxşardır və oxşarlıq əmsalı onları təpədən olan məsafələri nisbətinəbərabərdir. 3)   kəsiyin və oturacağın sahələri nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına, yaxud onların təpədən olan məsafələrinin kvadratları nisbətinə bərabərdir.

Piramidanın oturacağına paralel və onu kəsən müstəvi ilə oturacağı arasında qalan çoxüzlüyə kəsik piramida deyilir.

Kəsik piramidanın paralel üzlərinə onun oturacaqları, yan üzlərinə isə yan səthi deyilir. Kəsik piramidanın yan səthi trapesiyalardan ibarətdir. Oturacaq müstəviləri arasındakı məsafəyə kəsik piramidanın hündürlüyü deyilir. Düzgün piramidanı oturacağına paralel müstəvi ilə kəsdikdə alınan kəsik piramidaya düzgün kəsik piramida deyirlir.

Düzgün kəsik piramidanın yan üzləri bir-birinə bərabər olan bərabəryanlə trapesiyalardır.

 

Teorem 43.  düzgün kəsik piramidanın yan səthi

Düzgün kəsik piramidanın yan səthinin sahəsi onun oturacaqlarının perimetrləri cəminin yarısı ilə apofemi hasilinə bərabərdir

Kəsik piramidanın bir üz üzərində olmayan iki yan tilindən keçən müstəvi ilə kəsiyinə dioqanal kəsiyi deyilir.

Düzgün çox üzlülər

Bütün üzləri bərabər düzgün çoxbucaqlılar olan hər bir təpəsindən  eyni sayda til şıxan qabarıq çoxüzlüyə düzgün çoxüzlü deyilir.

Yaxşı tanıdığımız  kub düzgün çoxüzlüdür. Çünki onun bütün  üzləri kvadratdır, hər bir təpəsindən üç til çıxır.

Teorem 29.

Düzgün çoxüzlünün hər bir üzünün tərəfləri sayı 5 dən çox ola bilməz.

Əgər düzgün çoxüzlünün üzləri bərabərtərəfli üçbucaq olsa, onda onun  hər bir təpəsindəki müstəvi bucaqlarının sayı 3.4 və ya 5 ola bilər

 Düzgün tetradr (dördüzlü), düzgün oktaedr (şəkkizüzlü) və düzgün ikosaedr (iyirmiüzlü) alınır.

 Düzgün oktaedr səthi səkkiz bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarət  düzgün çoxüzlüdür. Onun hər bir təpəsində dörd til çıxır. Onlar dörd müstəvi bucaq əmələ gətirir.

 Düzgün ikosaedr səthi  iyirmi bərabərtərəfli  üçbucaq ibarət düzgün çoxüzlüdür. Onun hər təpəsindən beş til çıxır. Onlar beş müstəvi bucaq əmələ gətirir.

 

Fəzada vektor anlışı. Vektorların Bərabərliyi

 Fizikadan və planimetriyadan vektor anlayışı ilə artıq tanışıq. Streometriyada vektora  planimetriyadakı kimi tərif verilir.Vektorların xasəsələri  və onlar üzərinə əməllər də oxşardır.

Iki süa paralel olub, onların başlanğıcından keçən düz xəttə nəzərən eyni yarımmüstəvidə yerləşərsə, bu şüalara eyni istiqamətli süalar, müxtəlif yarımmmüstəvələrdə yerləşərsə, onlara əks istiqamətli şüalar deyilir. Iki şüa bir düz xəttin üzərində  olduqda isə onlardan biri tamamilə digərinə daxil olarsa, onlara eyniistiqamətli  şüalar, eks halda əks istiqamətli şüalar deyilir.

Fəzada istiqamətlənmiş parçaya vektor deyilir. kimi işarə olunur.

Başlanğıc  və sonu üst-üstə düşən vektora sıfır vektor deyilir:

Uzunluqları bərabər və istiqamətləri eyni olan vektorlara bərabər vektorlar deyilir

İstiqamətləri eyni və ya əks olan vektorlara kollinear vektorlar deyilir. Deməli başlanğıclarını bir nöqtəyə köçürdükdə bir düz xətt üzərində yerləşən vektorlar kollinear vektorlardır

Planimetriyada bilirik ki, müstəvi üzərində olub və bir düz xəttə perpendikulyar olan vektorlar kollineardır.

 O vektor hər bir vektorla kollinear hesab edilir.