Sonsuz meymun teoremi

Yazı makinasının düymələrinə təsadüfi şəkildə basan bir şimpanze lazımı qədər müddət verilərsə, bu səyin nəticəsində bir vaxt Şekspirin bütün əsərlərini demək olar ki tam dəqiq olaraq yaza bilər.

Sonsuz meymun teoremi — bir yazı makinasının düymələrinə sonsuz bir müddət boyunca təsadüfi şəkildə basan bir meymununmüəyyən bir mətni (məsələn Vilyam Şekspirin bütün əsərlərini) demək olar ki tam dəqiq olaraq yaza biləcəyini iddia edən riyaziyyatteoremidir.

Burada "meymun" sözü həqiqi bir meymundansa, təsadüfi hərflərdən ibarət olan bir təsadüfi ardıcıllığı sonsuzadək davam etdirə bilən bir obyekti ifadə edir. Teorem çox böyük, amma sonlu bir ədəd xəyal edərək sonsuzluq haqqında fikir yürütmənin risklərinə diqqət çəkir. Bir meymunun Şekspirin Hamleti kimi bir əsəri tamamən eyni formada yaza bilmə ehtimalı o qədər kiçikdir ki, bu hadisənin kainatın yaşı miqdarında bir vaxtda həyata keçmə şansı çox azdır, amma sıfır deyildir.

Teoremin çox və ya sonsuz sayda printer olan versiyaları olduğu kimi, hədəf mətnin böyüklüyü də bütün bir kitabxana ilə tək bircümlə arasında da dəyişə bilir. Teoremin kökləri Aristotelin 'Yaranma və Dağılma' və Siseronun 'De natura deorum' adlı əsərləri iləBlez Paskal və Conatan Sviftin düşüncələrinə əsaslanır. .....

Yazı yazan meymunlara olan xüsusi maraq televiziya, radio, musiqi və İnternetdəki bir çox misaldan görünə bilir. 2003-cü ildə altıkəkilli qara meymunla (Macaca nigra) bir sınaq həyata keçirilmişdir, lakin ortaya çıxmış kağız 'S' hərfinin üstünlük təşkil etdiyi beşsəhifəlik bir yazı nümunəsi olmuşdur. 

Teoremin olduqca başa düşülən bir sübutu vardır. ...

Yazı makinasında 50 düymə olduğu və yazılacaq sözün "meymun" olduğunu güman edək. Düymələrə təsadüfi şəkildə basıldığı nəzərə alınarsa, yazılan ilk hərfin m olma ehtimalı 1/50-dir. Oxşar qayda ilə, ikinci hərfin a olma ehtimalı da 1/50-yə bərabər olacaqdır. Ard-arda yazılan hərflər bir-birindən asılı olmayan hadisələr olduğundan, ilk altı hərfin "meymun" sözünü əmələ gətirdiyi ehtimalı

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)⁶ = 1/15.625.000.000

olaraq hesablanır. Bu ədəd də 15 milyardda birdən kiçikdir. Eyni səbəblə də yazılacaq sonrakı altı hərfin "meymun" sözünü əmələ gətirməsi ehtimalı da (1/50)⁶-ya bərabər olacaq və bu hal belə də davam edir.

Yuxarıdakı açıqlamalara əsasən "meymun" sözünün yaranmaması ehtimalı isə 1 − (1/50)⁶-ya bərabərdir.

Yazı sınaqları asılı olmayan hadisələr olduğundan ilk n sınaqda "meymun" sözünün yaranmama ehtimalı

olur.

n artdıqca X_n azalmaqdadır:

• n = 1.000.000 üçün X_n ≈ 0.9999 (≈ %99.99),
• n = 10.000.000.000 üçün X_n ≈ 0.53 (≈ %53) və
• n = 100.000.000.000 üçün də X_n ≈ 0.0017 (≈ %0.17)-dir.

n sonsuza yaxınlaşdıqca X_n sıfıra yaxınlaşır. Beləliklə, n lazımınca böyük seçilərək X_n istənildiyi ölçüdə azaldıla bilinir^[2] və "meymun" yazılma ehtimalı 100%-ə yaxınlaşır. Eyni əsaslandırma sonsuz sayda meymundan ən az birinin bir mətni, yazı makinasını demək olar ki xətasız istifadə edə bilən bir insanla eyni müddətdə yaza biləcəyini də göstərir.

Bu halda

bərabərliyində X_n, ilk n meymundan heç birinin "meymun" sözünü ilk sınaqda yaza bilməmə ehtimalını göstərməkdədir. Bu ehtimal 100 milyard meymun üçün %0.17-yə düşür və nsonsuzluğa yaxınlaşdıqca da X_n sıfıra yaxınlaşaraq azalır.

Amma ki, fiziki baxımdan mümkün sayda meymunun fiziki baxımdan real bir müddət boyunca yazma sınaqları etdiyi düşünüldüyündə, nəticə yuxarda əldə edilənin tərsi olur. Meymun sayı qavrana bilinən kainatdakı hissəcik sayına (10⁸⁰) bərabər olsa və hər meymun kainatın yaşının (10²⁰ saniyə) 100 qatı müddət boyunca saniyədə 1000 hərf yazabilsə, əldə edilən mətnin qısa bir kitabın belə tamamən eynisi olma ehtimalı sıfıra yaxındır.

Sonsuz mətnlər

Yuxarda açıqlanan iki nəticə sonlu bir əlifbadan seçilən hərflərin ardıcıllığı olan mətn yığımları kontekstində daha ümumi və sadə bir şəkildə ifadə edilə bilir: .... .... ....

Ehtimallar

Durğu işarələri, boşluq və böyük-kiçik hərf istifadəsi nəzərə alınmazsa, bir meymunun Hamletin ilk hərfini doğru yazma ehtimalı 26-da 1, ilk iki hərfini doğru yazma ehtimalı isə 676 (26 × 26)-da 1-dir. Ehtimal bu cür variantlar artdıqca kiçildiyi üçün, ilk 20 hərfin doğru yazılma ehtimalı

26²⁰ = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376-da (təxminən 2 × 10²⁸-də) 1-ə düşür. Hamletin tam forması düşünüldüyündə ehtimallar o qədər azalır ki, bu qiymətləri sıfırdan ayıra bilmək olduqca çətinləşir. Hamletin tam mətni təxminən 130.000 hərfdən ibarətdir. ^[3]

Beləliklə, bu mətni ilk sınaqda doğru yazma ehtimalı 3.4 × 10^183.946-da 1-dir.

Doğru mətnin ortaya çıxması üçün lazım olan təxmini hərf sayı da 3.4 × 10^183.946-dır.^[4]

Durğu işarələri də nəzərə alınarsa, bu say 4.4 × 10^360.783-ə çatır.^[5]

Bütün kainat ilk gündən bu yana yazmaqla məşğul olan meymunlarla doldurulsa belə, Hamlet əsərinin tam ortaya çıxma ehtimalı 10^183.800-də 1-dən kiçik olacaqdır. Kittel vəKroemerin deyimiylə "Hamleti yazmaq ehtimalı, bir hadisənin həyata keçməsi reallıq ölçüsündə sıfırdır" və meymunların bu işi əvvəl-axır bacaracaqlarına dair ifadə "çox böyük ədədlər haqqında yalnış nəticələrə sabəb olur."^[6]