funksiyanın əsas xassələri

Funksiyanın əsas xassələri
Funksiyanın tərifi, təyin oblastı, qiymətlər çoxluğu.
Bir çox hadisələri öyrənərkən aydın olur ki, burada müəyyən bir kəmiyyətin dəyişməsi o birinin dəyişməsinə səbəb olur. Məs: kvadratın sahəsi tərəfinin uzunluğundan, kvadrat tənliyinin köklərinin ədədi qiyməti onun əmsallarından aslıdır və s.
Ümumiyyətlə x dəyişəninin hər bir qiymətinə y dəyişəninin müəyyən bir qiymətini  uyğun və ya qarşı qoyma qaydası verilirsə, onda deyirlər ki, y dəyişəni x dəyişəninin funksiyasıdır.
Tərif: y və x kəmiyyətləri arasında müəyyən qayda ilə verilən uyğunluğa funksional aslılıq və ya funksiya deyilir. Daha dəqiq desək x dəyişəninin hər bir qiymətinə müəyyən qayda ilə y dəyişəninin yeganə qiməti uyğun gələrsə, y və x dəyişənləri arasındakı aslılığa funksiya deyilir.
İki çoxluqdan birincinin hər bir elementinə ikincidən yalnız bir element qarşı qoyularsa çoxluqlar arasında belə uyğunluq funksiya adlanır.
Funksiya adətən y=f(x), y=g(x), y=h(x) şəklində işarə olunur. Burada x-arqument və ya sərbəst dəyişən adlanır. Istənilən qiymətlər alan dəyişənə arqument deyilir.y isə asılı dəyişən və ya funksiya adlanır. Burada f funksiyanın xarakteristikası adlanır.
Arqumentin ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu funksiyanın təyin oblastı, funksiyanın ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu  funksiyanın qiymətlər çoxluğu adlanır.y=f(x) Funksiyasının təyin oblastı D(f), qiymətlər çoxluğu E(f) kimi  işarə olunur.
Funksiyanın təyin oblastı konkret olaraq göstərilmişdirsə təyin oblastı olaraq  arqumentin bütün elə qiymətləri nəzərdə tutulur ki, bu qiymətlərdə funksiyanı ifadə edən düsturun mənası olsun. x-ın bütün qiymətlərini bəzən funksiyanın təbii təyin oblastı da adlandırırlar.
          Funksiyanın qrafiki.
Funksiyanın araşdırılmasında, eləcə də onun bəzi xassələrinin müəyyən olunmasında onun qrafikindən geniş istifadə olunur. Funksiyanın qrafiki koordinat müstəvisinin absisləri arqumentin qiymətlərinə, ordinatları isə funksiyanın uyğun qiymətinə bərabər olan bütün nöqtələr çoxluğudur.
Bu o deməkdir ki, y=f(x) funksiyasının qrafiki, onun təyin oblastından olan bütün x-lar üçün koordinat müstəvisinin (x, f(x)) nöqtələri çoxluğudur.
f(x)=2x2  funksiyasını götürək. Arqumentə -2, -1, 0, 1, 2 və s. qiymətlərini verək və funksiyanın uyğun qiymətlərini tapaq. f(-2) =8, f(-1)=-2, f(0)=0, f(1)=2, f(2)=8. arqumentin və funksiyanın qiymətlərini cüt-cüt yazsaq (-2;8), (-1;2), (0;0), (1;2), (2;8) alarıq. Hər bir cütə xy müstəvisi üzərində bir nöqtə uyğun gəlir və bu nöqtələrin koordinatları y=2x2  tənliyinin həllidir. Belə nöqtələr sonsuz saydadır. Belə nöqtələrin həndəsi yeri f(x)=2x2 funksiyasının qrafikidir.
Tərif: Koordinatları y=f(x) tənliyini ödəyən (x;y) nöqtələrinin həndəsi yerinə f(x) funksiyasının qrafiki deyilir. Funksiyanın qrafiki hər hansı xətt ola bilər, y=f(x) funksiyasına həmin xəttin tənliyi deyilir.
Aydındır ki, x=x0, y=y0 olan (x0,y0) nöqtələrinin əyri üzərində yerini müəyyən etmək üçün həmin koordinatları əyrinin tənliyində yazmaq lazımdır. Nəticədə doğru olan ədədi bərabərlik alınarsa, deməli nöqtə əyri üzrədir.  Funksiyanın qrafikasını qurmaq üçün arqumentə müxtəlif qiymətlər verməklə bir neçə nöqtədə funksiyanın qiymətləri tapılır. Həmin nöqtələri xy koordinat müstəvisində qurub onları ardıcıl olaraq birləşdirmək lazımdır. Alınan əyri verilmiş funksiyanın qrafiki olur.
Koordinat müstəvisinin OY oxuna paralel olan istənilən düz xətlə birdən çox ortaq nöqtəsi olmayan alt çoxluğu hər hansı bir funksiyasının qrafikidir.
Misal 1. f(x)=5-2x2 funksiyasının   parçasında qrafikini qurub, onun qiymətlər çoxluğunu tapaq. x-ə -1;0;1;2 qiymətlərini verməklə funksiyanın qiymətlərini tapaq.
x=-1; f(-1)=5-2*(-1)2=3
x=0;  f(0)=5-2*02=5
x=1; f(1)=5-2*12=3
x=2; f(2)=5-2*22=-3
(-1;3); (0;5); (1;3); (2;-3) koordinat müstəvisində qeyd edib   aralığında funksiyanın qrafikini quraq.                                                                              
Şəkildən göründüyü kimi funksiyanın  aralığında ən böyük qiyməti 5-ə, ən kiçik qiyməti (-3)-ə bərabərdir.                                                                                                                  

Misal 2: Verilmiş qrafikə görə funksiyanın həm təyin oblastının, həm də qiymətlər çoxluğunun tapılmasına aid misal göstərək. Verilmiş qrafikə görə funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu tapaq.
  Göründüyü kimi x arqumenti -5-dən 6-ya qədər bütün qiymətləri, y funksiyası isə -4-dən 6-ya qədər bütün qiymətləri alır. Beləliklə, şəkildə verilmiş funksiyanın təyin oblastı  , qiymətlər çoxluğu isə    parçasıdır.
                                                     
               Funksiyanın verilmə üsulları
Funksiya əsasən 3 üsulla verilə bilər.
1. Analitik üsul. Arqument və funksiya arasında qarşılıqlı uyğunluq yaradan qayda müəyyən düstur şəklində verilirsə onda belə üsul analitik üsul və ya düstur üsulu adlanır.y=f(x)kimi yazılır. Analitik şəkildə verilən funksiya  təyin oblastının müxtəlif hissəsində müxtəlif düsturlarla və ya bərabərliklərlə verilə bilər.
f(x)=2sin 2;   - ; 0;

f(- )=2sin2(- )=2*1=2            f(0)=2*sin2*0=0     D(f)=0
D(f)=2                                              f          =2 sin 2          = 2*     =1    D(f)=1

2.Cədvəl üsulu: Sərbəst dəyişənin x1, x2, ... xn (x1≠x2≠...≠xn) qiymətlərinə uyğun asılı dəyişənin y1, y2, ...,yn qiymətləri cədvəl vasitəsilə verilərsə, bu üsul cədvəl üsulu adlanır.  Bu üsulda arqumentin x1; x2 ;...xn müxtəlif qiymətinə uyğun olan y1; y2;...yn  qiymətləri cədvəl şəklində verir.
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn

Adətən təcrübi işlərdə bu üsuldan istifadə edilir. Bu üsulun üstün cəhəti arqumentin qiymətinə funksiyanın uyğun olan qiymətinin bir başa verilməsi, çatışmayan cəhəti isə funksiya qiymətinin arqumentin bütün qiymətlərində verilməməsidir. Məsələn: Cədvəldə arqumentin x1 və x2; x2 və x3  və s. arasındakı qiymətlə funksiyanın qiymətləri verilmişdir. Funksiyanın cədvəl üsulu ilə verilməsi təkcə riyaziyyatda deyil, digər elm sahələrində (fizika, kimya, bilologiya və s. tətbiq olunur.
3. Qrafik üsul: Arqument və funksiya arasındakı koordinat müstəvisində müəyyən əyri ilə verilə bilər. Bu zaman x arqumentinin hər bir qiymətinə uyğun y funksiyasının qiyməti bu əyrinin köməyi ilə asanlıqla tapıla bilər . Funksiyanın bu üsulla verilməsi qrafik üsul adlanır.                                                  

  Şəkildəki funksiyanın təyin oblastı a və b aralığında yerləşən ədədlər çoxluğudur. Arqumentin istənilən x1 qiymətinə funksiyanın uyğun olan qiymətini tapmaq üçün  absis oxu üzərindəki x1 nöqtəsindən Ox oxuna perpendikulyar qalxır və onun qrafiki ilə kəsişmə nöqtəsi tapılır, kəsişmə nöqtəsinin ordinatı funksiyanın axırıncı qiyməti olur.
                                   Cüt və tək funksiyalar.
Təyin oblastı koordinat başlanğıcına görə simmetrik olan yəni təyin oblastından götürülən istənilən x üçün (-x) ədədi təyin oblastına daxil olan funksiyalara baxaq.
Tərif: Təyin oblastından götürülən istənilən x üçün f(-x)-f(x) olduqda f-ə cüt funksiya deyilir.
Tərif: Təyin oblastından götürülən istənilən x üçün f(-x)=-f(x) olduqda funksiyaya tək funksiya deyilir.
Misal: f(x)=x4 funksiyası cüt, g(x)=x3 funksiyası tək funksiyadır. Bunlardan hər birinin təyin oblastı O nöqtəsinə görə simmetrikdir və istənilən x üçün
f(-x)=(-x)4=f(x)
g(-x)=(-x)3=-x3  bərabərlikləri ödənilir.
Cüt və tək funksiyaların qrafikləri üçün aşağıdakı xassələr var.
1.Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna görə simmetrikdir.
2.Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına görə simmetrikdir.

Bu qaydalardan aşağıdakını alarıq.
Cüt yaxud tək funksiyanın qrafikini qurarkən onun mənfi olmayan x üçün olan hissəsini qurmaq sonra isə alınan qrafiki ordinat oxuna, yaxud koordinat başlanğıcına görə əks etdirmək kifayətdir.
Bu şərtlərdən heç olmazsa biri pozularsa, yəni funksiyanın təyin oblastı koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik deyilsə və ya f(-x)=f(x) və f(-x)=-f(x) şərtlərindən heç biri ödənilmirsə onda belə funksiya nə cüt, nə də tək funksiyadır.
Misal 1. y=2x2+1
D(y)=( ∞;∞)
y(-x)=2(-x)2+1=2x2+1=y(x)
y(-x)=y(x)       Deməli cüt funksiyadır.
Misal 2. y=
D(y)=(- ∞;-1) (-1;1) (1; ∞)
y(-x)= tək funksiyadır.

Misal 3. y=x3+x2-3x+1
D(y)=(- ∞;∞)
y(-x)=(-x)3+(-x)2-3(-x)+1=-x3+x2+3x+1=-(x3-x2-3x-1)
y(-x)≠y(x); y(-x) ≠-y(-x)
Funksiya nə tək nə də cüt funksiyadır.
Funksiyanın cütlüyünü və təkliyini araşdırarkən aşağıdakıları bilmək lazımdır.
1.İki cüt funksiyanın cəmi cüt, iki tək funksiyanın cəmi isə tək funksiyadır. Məsələn: f(x)=x2 , g(x)=
cüt funksiyalar olduğundan h(x)=f(x)+g(x)=x2+    funksiyası da cüt funksiyadır. f(x)=x, g(x)=x3 tək funksiyalar olduğundan h(x)=f(x)+g(x)=x+x3 funksiyası da tək funksiyadır.
2. İki cüt (tək) funksiyanın hasili və qisməti cüt funksiyadır.
3. f cüt (tək) funksiyadırsa, də cüt(tək) funksiyadır.










                      Cüt funksiya Tək funksiya

Dövri funksiyalar.
Təbiətdə bir sıra proseslər var ki, onlar vaxtaşırı təkrarlanır, belə proseslər dövri proseslər adlanır. Məsələn, Yer kürəsinin Günəş ətrafında tam bir dövrünün bir il olması, gecədən sonra gündüzün gəlməsi və s. Dövri dəyişən kəmiyyətlər arasındakı asılılıq dövri funksiyalarla müəyyən olunur.
Tutaq ki, y=f(x) funksiyası verilmişdir. Hər bir x ədədi ilə birlikdə x-T və x+T (T≠0) ədədələri də f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə və
f(x-T)=f(x)=f(x+T)
bərabərliyi ödənilərsə f(x) funksiyasına dövri T olan funksiya deyilir.

0 istənilən funksiyanın dövrüdür. Dövrü 0 olan funksiya maraqlı deyil, ona görə də T≠0 qəbul edilir.
Teorem 1. T ədədi f(x) funksiyasının dövrüdürsə -T ədədi də bu funksiyanın dövrüdür.
Doğrudan da bərabərlikdə T-nin yerinə -T yazsaq
f(x+T)=f(x)=f(x-T) alarıq

Teorem 2. T1 və T2 ədədləri f(x) funksiyasının dövrüdürsə T1+T2 və T1-T2 ədddədləri də f(x) funksiyasının dövrü olur.
Teorem 3. T ədədi f(x) funksiyasının dövrüdürsə, n istənilən tam ədəd olduqda nT ədədi də f(x) funksiyasının dövrüdür.
Deməli y=f(x) funksiyası dövrüdürsə onun dövrlərinin sayı sonsuzdur.
Teorem 4. y=f(x) dövrü funksiyadırsa, onun təyin oblastı koordinant başlanğıcına nəzərən simmetrikdir və sonsuz çoxluqdur.
Doğrudan da dövrü funksiyanın tərifinə görə T≠0 olduqda istənilən x ədədi ilə birlikdə x               ədədi də D(f)-ə daxil olmalıdır:
 x=0 götürsək alarıq ki, T≠0 olduqda                      olar.
Deməli, D(f) koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
Funksiyanın ən kiçik müsbət dövrünə onun əsas dövrü deyilir.    

Artan və azalan funksiyalar
          Tutaq ki, hər hansı (a,b) intervalında və ya      parçasında təyin olunmuş, y=f(x) funksiyası verilmişdir.
Tərif: Funksiyanın təyin oblastından götürülmüş istənilən x1 və x2 üçün x2>x1 olduqda f(x2)>f(x1) bərabərliyi ödənilirsə onda f funksiyasında P çoxluğunda artan funksiya deyilir.
Tərif: P çoxluğundan götürülmüş istənilən x1 və x2 üçün x2>x1 olduqda f(x2)< f(x1) bərabərliyi ödənilirsə onda f funksiyasına P çoxluğuna azalan funksiya deyilir.
Tərifdən görünür ki, arqumentin P çoxluğundan götürülən qiymətinə funksiyanın böyük qiyməti uyğun olarsa  onda funksiyaya P çoxluğunda artır. Əgər  arqumentin böyük qiymətinə funksiyanın kiçik qiyməti uyğun olarsa onda funksiya P çoxluğunda azalır.
Artan və ya azalan funksiyalara verilən bu tərifi aşağıdakı kimi də söyləmək olar.
Arqumentin [a,b] parçasından götürülmüş qiyməti artdıqca funksiyanın qiyməti də artarsa, (uyğun olaraq azalarsa) y=f(x) funksiyasina [a,b] parçasında artan (uyğun olaraq azalan) funksiya deyilir.
Artan və azalan funksiyalara monoton funksiyalar deyilir.








Artan və azalan funksiyalarla yanaşı, uyğun olaraq azalmayan və artmayan funksiyalara da baxılır.
Əgər x1, xє[a,b] üçün x1<x2 olduqda f(x1)      f(x2) olarsa, onda f(x) funksiyasına [a,b] parşasında azalmayan funksiya deyilir.
Uyğun olaraq əgər x1<x2 olduqda f(x1)     f(x2) olarsa, onda f(x) funksiyasına [a,b] parçasında artmayan funksiya deyilir.







Azalmayan və artmayan funksiyalara qeyri-ciddi monoton funksiyalar deyilir.
y=f(x) funksiyası təyin oblastının müəyyən aralıqlarında artan digərində azalan ola bilər.



f(x) funksiyası [a,b] parçasında təyin olunmuşdur. f(x) funksiyası [a,c] və [e,b] parçalarında artan, [c,d] parçasında azalan, [d,e] parşasında sabitdir. Funksiya [c,e] parçasında artmayan, [d,b] parçasında azalmayan olduğunu demək olar.

Nöqtənin ətrafı anlayışı.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri
Funksiyanın hər hansı nöqtə yaxınlığındakı xarakterini tədqiq edərkən ətraf anlayışlardan istifadə edilir.  a nöqtəsinin daxil olduğu istənilən intervala nöqtənin ətrafı deyilir. Məs: (2;6) intervalı 3 nöqtəsinin (-3,3;2,7) intervalı isə (-3) nöqtənin ətrafından biridir. Verilmiş x0 nöqtəsini daxilində saxlayan istənilən (α, β) aralığına x0-in ətrafı deyilir.
Tutaq ki, y=f(x) funksiyası  [a,b] parçasında təyin olunub və x0 є[a,b], yəni x0 nöqtəsi [a,b] parçasının daxili nöqtəsidir.
Tərif: x0 nöqtənin müəyyən ətraafından götürülən bütün x-lər üçün f(x)    f(x0) bərabərsizliyi ödənildikdə, x0-ra f (x) funksiyasının minimum nöqtəsi deyilir və belə yazılır: ymin=f(x0)
Tərif: x0 nöqtəsinin müəyyən ətrafında götürülən bütün x-lar üçün f(x)≤f(x0) bərabərsizliyi  ödənildikdə x0-ra f(x) funksiyasının maksimum nöqtəsi deyilir və belə yazılır: ymax=f(x0)
Tərifə görə f funksiyasının maksimum nöqtəsinin  x0 qiyməti, x0-ın müəyyən ətrafdakı qiymətlərdən ən böyüyüdür. Ona görə x0 ətrafında funksiyanın qrafiki hamar “təpə” və ya sinri pik şəklində olur.







Maksimum və minimum nöqtələri ekstremum nöqtələri funksiyanın bu nöqtələrdəki qiymətləri isə ekstremum qiymətləri adlanır.
f(x) funksiyanın [a,b] parçasında aldığı qiymətlərin ən böyüyünə bu parçada onun ən böyük qiyməti (ƏBQ) deyilir və max f(x), xє[a,b] kimi işarə olunur. f(x) funksiyasının [a,b] parçasında aldığı qiymətlərin ən kiçiyinə onun ən kiçik qiyməti deyilir (ƏKQ) və min f(x), xє[a,b] kimi işarə olunur.
f(x) funksiyasının [a,b] parçasında ƏBQ və ƏKQ-nin tapılması üçün
a) funksiyanın maksimum və minimum qiymətlərini hesablamaq;
b) f(a) və f(b) qiymətlərini hesablamaq;
a) və b) mərhələlərində funksiyanın tapılmış qiymətləri içərisində ən böyüyünü və ən kiçiyini seçmək lazımdır.







y=sin x, y=cos x funksiyalarının tərifi, xassələri və qrafiki
x radian bucağının triqonometrik funksiyasına x ədədi arqumentinin triqonometrik funksiyası deyilir.
x radian bucağının sinusuna bərabər olan ədədə x ədədinin sinusu deyilir və sin x ilə işarə edilir.
y=sinx funksiyasının aşağıdakı xassələri var.
1. y=sinx funksiyasının təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur. D(sinx)=R
2. Məlumdur ki, sinx vahid çevrə üzərindəki Px nöqtəsinin ordinatıdır. Vahid çevrə üzərindəki nöqtənin ordinatı isə-1-dən 1-ə qədər qiymətlər alır. Odur ki, y=sinx funksiyasının qiymətlər çoxluğu [-1,1] parçasıdır: E(sinx)= [-1,1]
3. y=sinx tək funksiyadır. Çünki istənilən xєR üçün
y=sin(-x)=-sinx və sinx-in təyin oblastı koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
4. y=sinx funksiyısının əsas dövri 2π-dir. Yəni, istənilən x üçün
sin (x-2 π)=sinx=sin(x+2 π)
5. y=sinx funksiyasının qrafiki OX oxunu (πn;0), nєz nöqtələrində kəsir.
Doğrudanda y=sinx düsturunda y=0 qəbul etsək, sinx=0 tənliyinin kökləri x= πn, nєz olar.
6. y=sinx funksiyasının qrafiki OY oxunu (0;0) nöqtəsində kəsir. Çünki, y=sinx düsturunda x=0 qəbul etsək, y=sin 0=0 olar.
7. Y=sinx funksiyası (2 πn; π+2 πn)*nєz aralıqlarında müsbət qiymətlər alır.
Doğrudan da, xє(0; π) olduqda Px nöqtələri vahid çevrənin yuxarı yarımçevrəsinə aid olar. Yuxarı yarımçevrəni koordinat başlanğıcı ətrafında 2π qədər döndərdikdə yenə özünə çevrilir. Ona görə də xє(πn; π+2 πn), nєz aralıqlarında sin x>0 olar.
8. 7-ci bənddəkinə oxşar mühakimələr apararq alatıq ki, xє(-π+2 π n;2πn), nєz aralıqlarında mənfi qiymətlər alır.
9. y=sinx funksiyası                                              aralıqlarında artır.
Asanlıqla göstərmək olar ki, istənilən x1,x2                   üçün, x1>x2 olduqda sin x2>sinx1 olur, yəni y=sin x funksiyası                parçasında artır. Y=sinx funksiyası                                        aralıqlarında da artır.
10. Y=sin x funksiyası                                          aralıqlarında azalır.
Buna 9-cu bənddəkinə oxşar mühakimə ilə inanmaq olar.
11.                              nöqtələri y=sinx funksiyasının minimum nöqtələridir və onun minimum qiyməti y=-1 olur.
12.                                 nöqtələri y=sinx funksiyasının maksimum nöqtələridir və onun maksimum qiyməti y=1 olur.
y=sinx dööövrü funksiya olduğundan onun qrafikinin uzunluğu 2π-yə bərabər olan [-π,π] parçasında qurub alınan qrafiki absis oxu boyunca sola və sağa 2πn,nєz məsafəyə paralel köçürmək kifayətdir.
y=sinx tək  funksiya olduğundan onun qrafiki [0,π] parçasında qurub koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik çevirsək [-π;0] parçasındakı qrafikini də alarıq.





y=sinx funksiyasının qrafikinə sinusoid deyilir.
y=cosx funksiyasının xassələri və qrafiki
1. y=cosx funksiyasının təyin oblastı R-dir: D(cosx)=R
2. y=cosx funksiyasının qiymətlər çoxluğu (pa) [-1;1] parçasıdır
E(cosx)= [-1;1]
3. y=cosx cüt funksiyadır. Yəni cos(-x)=cos x istənilən XєR üçün doğrudur.
4. y=cosx funksiyası dövridir və əsas dövri 2π-yə bərabər cos(x-2π)=cosx (x+2π)
5. y= cosx funksiyasının qrafiki OX oxunu                            nöqtəsində kəsir.
6. y=cosx funksiyasının qrafiki OY oxunu (0,1) nöqtəsində kəsir.
7. y=cosx funksiyası                                         aralıqlarında müsbət qiymətlər alır.
8. y=cosx funksiyası                                          aralıqlarında mənfi qiymətlər alır.
9. xє[-π+ 2πn, 2πn], nєz aralıqlarında y=cosx funksiyası artır.
10. xє[2πn, π+2πn], nєz aralıqlarında y=cosx funksiyası azalır.
11. x=π+2πn, nєz nöqtələri y=cosx funksiyasının minimum nöqtələrdir və minimum qiymətləri y=-1-dir.
12. x=2πn, nєz nöqtələri y=cosx funksiyasının maksimum nöqtələridir və maksimum qiymətləri y=1 olur.
y=cosx funksiyasının qrafikinə kosinusoid deyilir.

                     
Tərs triqonometrik funksiyalar
Tərs funksiya anlayışı.
Tərs funksiyaların varlığı haqqında teorem.
Tutaq ki, f(x) funksiyası [a,b]- parçasında təyin olunub, onun qiymətlər çoxluğu [c,d]-parçasıdır. x sərbəst dəyişəni  [a,b]-parçada dəyişdikdə y-in qiymətləri [c,d]-parçasını doldurur. [c,d]-dən ixtiyari y0 götürək. Onda [a,b]-da heç olmasa bir x0 nöqtəsi var.
f(x0)=y0
Bu bərabərliyi ödəyən  x0 nöqtəsi bir yox bir neçə ola bilər. Beləliklə[c,d]
parçasından götürülən hər bir y-ə [a,b]-dan x-ın bir və ya bir neçə qiyməti uyğun ola bilər, yəni verilmiş y üçün
                                        f(x)=y (1)
tənliyinin bir və ya bir neçə kökü ola bilər.
Beləliklə [c,d]-parçasından götürülmüş hər bir y-ə (1) tənliyindən tapılan x-ı qarşı qoymaq istəsək  belə x-ların sayı çox ola bilər. Buradan alınır ki, (1) tənliyi vastəsi ilə y-in funksiyası kimi təyin etmək istəsək verilmiş y€  [c,d]- üçün (1) tənliyinin    [a,b]-yə daxilolan yeganə kökü olmalıdır.
Tərif: [a,b]- də təyin olunan və qiymətlər çoxluğu  [c,d]-parçası olan y=f(x) funksiyası üçün f(x)=y tənliyinin yeganə x=g(y) kökü varsa y=f(x) funksiyasına tərsi olan funksiya, x=g(x)-ə isə onun tərs funksiyası deyilir.
Tərifdən alınır ki, x=g(y) funksiyası y=f(x)-ın tərs funksiyası isə bu funksiyanın təyin oblastıdır. [c,d]-sı qiymətlər çoxluğu [a,b]-dir.
    y€[c,d] üçün  f(g(y))=y
    x€[a,b] üçün g(f(x))=x  bərabərlikləri doğrudur.
Aydın olur ki, y=f(x)-ın tərs funksiyasının varlığı üçün bu fuknsiyaya  [a,b]-sı ilə [c,d]-da  aralığında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmalıdır.
 Absis oxuna paralel olan istənilən düz xətt y=f(x) funksiyasının qrafikini yalnız bir nöqtədə kəsməlidir. Əgər x=g(y) funksiyası y=f(x)-ın tərs funksiyasıdırsa onların qrafikləri eynidir.
Teorem: (tərs funksiyanın varlığı haqqında). Əgər f(x) funksiyası [a,b]-parçasında artandırsa (azalandırsa) onun qiymətlər çoxluğunda təyin olunmuş y=g(x) tərsi var və tərs funksiya da artandır(azalandır).
Isbatı: Tutaq ki, f(x) funksiyası artandır. Onda təyin oblastindan götürülmüş istənilən x1<x2 üçün f(x1)<f(x2) olar. Odur ki, x1 ≠ x2 olduqda f(x1) ≠ f(x2) olur. Bu isə o deməkdir ki, f(x)-ın qiymətlər çoxluğundan götürülmüş ixtiyari y üçün f(x)=y tənliyinin yeganə həlli var. Buradan alınır ki, y=f(x)-ın y=g(x) tərsi var. Göstərək ki, y=g(x) funksiyası E(f) çoxluğundan artandır. Tutaq ki, x1 və x2 ədədləri E(f) çoxluğundan götürülmüş və x2>x1 şərtini ödəyən ixtiyari ədədlərdir. y1=g(x1) və y2=g(x2) işarə edək. Tərs funksiyanın tərifinə görə x1=f(y1) və x2=f(y2). Göstərək ki, x2>x1 olduqda g(x2)>g(x1). Doğrudanda y1>y2 olarsa f(x)-in artan olması şərtindən alırıq ki, f(y1) ≥f(y2)  buradan iş-ə  x1 ≥  x2 olar. Bu isə x2>x1 şərtinə ziddir. Deməli y2>y1 və ya g(x2) > g(x1). Bu isə o deməkdir ki, y=g(x) funksiyası artandır. T.i.o

Arksinus,arkkosinus, arktanges və arkkotanges anlayışları.
Biz öyrəndik ki, y=f(x) funksiyasının tərsi f(x)=y kimi həll edilir. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx funksiyalarının tərs funksiyası anlayışlarını daxil edək.
1. Məlumdur ki, y=sin(x) funksiyası               -da artandır və[-1;1] parçasına daxil olan bütün qiymətləri alır. y0≤1 şərtini ödəyən istənilən y0 üçün sinx=y0 tənliyinin
             -da yeganə x0 kökü var, x0 ədədi y0-un arksinusu adlanır və x0=arksin y0

kimi işarə edilir.
   
Tərif:            -dan götürülən və sinusu y0-ra bərabər olan x0 ədədinə y0 ədədinin arksinusu deyilir.
y0 ədədinin arksinusu   arcsin y0 €               və sinsin(arcsin y0)=y0 şərtini ödə-dir.
arcsin(-x)=-arcsin x
Misal: arcsin         -ni tapaq.
arcsin       =      


    €                , sin   =      

2.y=cos x funksiyası        -da azalandır və [-1;1]-na daxil olan bütün qiymətləri alır.
            şərtini ödəyən istənilən y0 üçün cos x=y0 tənliyinin          -da yeganə x0 kökü var.x0 ədədi y0 ədədinin arkkosinusu adlanır və x0=arccos y0 kimi işarə edilir.
Tərif:         -dan götürülən  və kosinusu y0-a bərabər olan x0 ədədinə y0 ədədinin arccosinusu deyilir.
arccos  y0 €            və cos(arccosy0)=y0

Misal: arcos ½-?
arcos ½ =      ,          €         ; cos          

3.y=tg x funksiyası               aralığında artandır və (-∞;∞) aralığında bütün qiymətləri alır. y0 ədədi üçün tg x=y0  tənliyinin               aralığında yeganə x0 kökü var. x0 ədədi y0 ədədinin arctg-si adlanır və x0=arctgy0 kimi işarə edilir.
Tərif:                aralığında götürülən və tangesi y0 bərabərliyi olan x0 ədədinə y0

ədədinin arctg-si  deyilir.
Arctanges arctg y0 €            

arctg(-x)=-arctg x   tg(arctg x)=y0 şərtlərini ödəyir
Misal: arctg       -?
arctg     =      ;       €                  tg      =

4.y=ctgx funksiyası (0; π) arasında azalır və (-∞;∞) arasındakı bütün qiymətləri alır. Ona görə də istənilən x0 ədədi üçün ctg x=y0 tənliyinin (0; π) aralığında yeganə x0 kökü var. x0 ədədi y0-ın arkkotangesi adlanır və x0=arcctg y0 kimi işarə edilir.
Tərif: (0; π) aralığından götürülən və kotangesi y0-ra bərabər olan x0 ədədinə y0 ədədinin arccotangesi deyilir.
Arcctg y0 € (0; π) ctg(arcctg y0)=y0
Misal: arcctg=1
Arcctg 1=     , çünki       €(0; π) , ctg     =1
Xassələri: arcsin-n köməyi ilə [-1;1]-da təyin olunur və qiymətlər çoxluğu                      
           parçası olan funksiya təyin etmək olar. Bu funksiya y=arcsin x kimi işarə edilir.
-1≤x≤1 və                            şərtini ödəyən x və y-lər üçün y=arcsin x və sin y=x

bərabərliyinin hər biri digərinin nəticəsi ol-dan [-1;1]-da təyin ol-s, y=sinx funksiyasının tərsidir.
Tərs funksiya haqqında teoremə görə y=sin x funksiyası                - da artan olduğu üçün y=arcsin x funksiyası [-1;1]-da artan olaraq y=arcsin xfunksiyasının qrafiki y=sin x funksiyasının qrafiki y=x d/x-nə nəzərən simmetrik çevirməklə alınır.
[-1;1]-da təyin olunmuş y=arccos x funksiyası         -da y=cos x funksiyasının tərsidir. Ona görə də y=arccos x, -1≤x≤1 və cosy=x, 0 ≤y≤ π   münasibətləri biri digərinin nəticəsidir. y=arccos funksiyası [-1;1]-da azalandır. Onun qrafiki y=cosx funksiyasının qrafikindən y=x d/x-nə nəzərən simmetrik çev-lə alır.
arcctg(-x)= π -arcctg(x)
Misal:  y=arcsin          ; D(y)-?
y=arcsin x   y=D (y) € [-1;1]
-1≤         ≤1

y=arcsin               -1≤x≤1

y=arcsin             D(y)€ [-1;2]

Tərs trioqonometrik funksiyalarla bağlı olan ifadələrin çevrilməsindı əhəmiyyətli olan bir neçə düsturu verək.
tg(2arcctgx) =                        

sin(2arctgx)=             -∞<x<∞

cos(2arctgx)=          

sin(4arctgx)                

cos(      arccosx)=                                

sin  (     arccosx)=                          

Tərs trioqonometrik funksiyalar arasındakı aşağıdakı müəyyən edən teoremi isbat edək.
Teorem: [-1;1]-dan götürülmüş bütün x-lar üçün arcsin x+ arccosx=      eyniyilə doğrudur.
İsbatı: Məlumdur ki,                                olduqda sin(arcsinx)=x
-            - arccosx≤       bərabərliyi doğru olduğundan , arcsinx və        -arccosx-ın

hər ikisi                  -da yerləşir.

sin(arcsinx)=x
sin(        arccos x)= cos(arccos x)=x

Bu bərabərlikdən alınır ki, arcsin x və        -arccos x arqumentinin sinusları bərabərdir.                Parçasında sinus -1 dən 1-ə qədər artır. bu aradakı qiymətlərin hər birini bir dəfə artır. Deməli arqumentlər bərabərdir.
arcsin x=       -arccos x

-∞<x<∞ aralığından götürülmüş bütün x-lar üçün  arctgx+arcctg=    eyniliyi doğrudur.





Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər.
Sadə triqonometrik tənliklərin həlli.
Dəyişəni yalnız triqonometrik funksiyaların işarəsi altında olan tənliyə triqonometrik tənlik deyilir. Verilmiş triqonometrik tənliyi həll etmək üçün sin t=a,
cos t=a, tg t=a, ctg t=a tənliyinin birinin həllinə gət-r.
1.sin t=a
Vahid çevrə üzərində M(x,y) nöqtələrinin absisi x=cos t-yə, ordinatı isə y=sin t-yə bərabərdir. Ona görə də sin t=a tənliyini həll etmək üçün vahid çevrə üzərində ordinatı a-ya bərabər olan nöqtəni tapıb buna uyğun t-nin qiymətini müəyyən etmək lazımdır. Şəkildən göründüyü kimi əgər /a/<1 olarsa vahid çevrə üzərində belə nöqtələrin sayı iki, [a]=1 olarsa bir, /a/>1 olarsa belə nöqtələr yoxdur.
 
                                                                                    y=a,  a>1
y      y   y
[a]<1 y=1
                                                                                                                                 
                            x                                       x                                                    x
              0                                          0                                                    0                
                                 

y=-1 y=a,  a<-1
Bu nöqtələrə uyğun ədədlər çoxluğu sin t=a tənliyinin həllər çoxluğunu əmələ gətirir. sin t=a tənliyinin həllər çoxluğunu aşağıdakı kimi qruplaşdırmaq olar.
         olsa sin t=a tənliyinin həlli yoxdur. Çünki t-nin istənilən qiymətdə [sin t]≤1

/a/ ≤1 halına  baxaq.
y=sin t funksiyası                  -da artan funksiyadır. Bu parçada sin t=a tənliyinin yeganə kökü var. Bildiyimiz kimi bu t0 =arcsin a kimi işarə edilir. y=sin t funksiyası             -da azalır. 1-dən -1-ə qədər bütün qiymətləri alır. Deməli parçada sin t=a tənliyinin bir kökü var. t0=π-arcsin a.
Əgər y=sint funksiyasının dövrünün 2π olduğunu nəzərə alsaq, sint=a tənliyinin bütün hədləri üçün t=arcsina+2πn     t=π-arcsina+2πn(nєz) bu düsturları birləşdirsək, sint=a tənliyi həlləri üçün alarıq. T=(-1)k arcsina+πk, kєz
2. cos t=a tənliyi
Vahid çevrə üzərindəki M(t) nöqtəsinin absisi cos t-yə bərabər olduğundan, cos t=a tənliyinin həlli bu çevrə üzərində elə nöqtələrin tapılması deməkdir ki, bu nöqtələrin absisi a-ya bərabər olsun. Başqa sözlə, bu nöqtələrin koordinat nöqtəsi ilə x=a düz xəttinin kəsişmə nöqtəsi olmalıdır. Əgər [a]<1 olarsa kəsişmə nöqtəsinin iki, [a]=1 olarsa bir, [a]>1 olarsa kəsişmə nöqtəsi yoxdur.







[a]>1 olarsa cos t=a həlli yoxdur. Çünki t-nin istənilən qiymətdə [cos t]≤1
[a] ≤1 halı üçün cos t=a tənliyinin həllini tapaq.
x=a düz xətti vahid çevrəni 2 nöqtədə kəsir. Həmin nöqtədən biri yuxarı yarımçevrə üzərindədir. Yuxarıda olan  M(t) nöqtəsinə uyğun t üçün 0<t<π  şərti ödəndikdə arccos-n tərifinə görə  t=arccos a olur. Aşağı yarımçevrə üzərində yerləşən kəsişmə nöqtəsini N(t1) ilə işarə etsək  t1=-t=-arccos a alırıq.
Beləliklə [a]<1 olduqda cos t=a tənliyinin ±arccos a şəklində iki həllini tapmış olarıq. cos funksiyası  2 π  dövrlü olduğundan cos t=a tənliyinin həlləri
t=±arccos a+2 π  n, n€Z alırıq.
a=0, 1-1 xüsusi halları üçün cos t=a tənliyinin həlləri aşağıdakı kimidir.
cos t=0

t=                           n€Z

cos t=1
t=2                         n€Z
cos t=-1
t= n€Z
cos t=-a
t=±(    -arccos a)+2     şəklində həllini göstərmək olar.
3. tg x=a tənliyi
Vahid çevrənin ixtiyari     nöqtəsinin absisi x=cos t, ordinatı y=sin t . Tərifə görə tg t=    olduğundan tg t=a tənliyini həll etmək vahid çevrə üzərində koordinatları    =a şərtini ödəyən nöqtələri tapmaq deməkdir. Bunun üçün y=ax d/x-ilə vahid çevrənin kəsişdiyi nöqtələri tapıb bu nöqtələrdən               şərtini ödəyən nöqtələri götürmək
lazımdır. Arctg-in tərifinə görə alırıq ki, t= arct a.    a üçün y=ax düz xətt sağ yarımçevrəni bir nöqtədə kəsir. Bu nöqtə                şərtini ödəyir. Onda tg t=a tənliyinin               aralığında t=arctg a, digər nöqtəsi üçün t= π+arctda həlli var.
Tangens funksiyasının π dövrlü funksiya olduğunu nəzərə alsaq tgt=a tənliyinin bütün həllərini
T=arctg a+ πn(nєz) düsturu ilə vermək olar.
4. ctgt=a tənliyi a ixtiyari ədəd olduqda ctgt=a tənliyinin həllini çevirmə düsturlarının tətbiqi vasitəsilə
T=arcctga+ πn; nєz şəklində yazmaq olar.
Başqa kəsişmə nöqtəsi üçün tg t=a

           n-ci dərəcədən kök və  onun xassələri.
Bilirik ki, n-ci qüvvətli a-ya bərabər olan ədədə a-nın n-ci dərəcədən kökü deyilir.
Məs:               çünki, 53=125,                      çünki, (-3)4=34=81
Alırıq ki, a ədədinin n-ci dərəcədən kökü xn=a tənliyinin həllidir. Deməli verilmiş a ədədinin n-ci dərəcədən köklərinin sayı ilə bağlıdır. Sonuncu n və a ədədlərindən aslıdır. Bu tənliyin həqiqi həllinin sayını müəyyən etmək üçün y=xn və y=a funksiyasının qrafikinin kəsişmə nöqtəsini sayını bilmək lazımdır. Bilirik ki, y=xn  funksiyası istənilən n natural ədədi üçün [0;∞) aralığında artır və bu aralıqdan olan bütün qiymətləri alır. Ona görə də istənilən a    0 üçün x€[0; ∞) olduqda y=xn funksiyasının qrafiki ilə y=a  d/x-nin qrafikinin absisi mənfi olmayan bir nöqtədə kəsir. Bu o deməkdir ki, a   0 üçün və x€[0; ∞) üçün xn=a tənliyinin yalnız bir mənfi olmayan həlli var. bu həllə a ədədinin n-ci dərəcədən hesabi kökü deyilir və        
        kimi işarə edilir.
Tərif:  n-ci qüvvəti a-ya bərabər olan və mənfi olmayan ədədə mənfi olmayan a ədədinin hesabi kökü deyilir.
Misal:                  243>0 həm 3>0   35=243
xn =a tənliyinin həllinin n və a-dan aşağıdakı müəyyən edən iki hala baxaq.
1. n cüt ədəddir. (n=2k, k€N) Onda y=xn funksiyası cüt funksiyadır. Qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir. a>0 olduqda xn=a tənliyinin iki x1=-        , x2=         həlləri var. –x2=        ədədi a-nın hesabi köküdür. a=0 olduqda tənliyin bir həlli var. a<0 olduqda y=xn tənliyinin həlli yoxdur. Bu isə o deməkdir ki, -a ədədinin cüt dərəcədən həqiqi kökü yoxdur.
Misal:         =±2     24=16,    x1=-2,      x2=2

2. n tək ədəddir. (n=2k+1, k€N). Onda y=xn funksiyası tək funksiyadır və (-∞;∞)-da artandır. Alırıq ki, istənilən a ədədi üçün y=xn funksiyalarının qrafiki ilə y=a d/x bir nöqtədə kəsişir, bu nöqtələrin absisi x=        
Misal: x3=216
           n=3 a=216
           
           63=216
Köklə bağlı olan ifadələrin çevrilməsində, eyniliklər, isbatında əhəmiyyətli olan aşağıdakı bərabərliyi göstərək.
={|x| əgər n=2k (k€N)
 {x əgər n=2k+1 (k€N)
Əgər n=2k olarsa x2k =|x|2k və hesabi kökün tərifinə görə                          
Əgər n=2k+1 olarsa x-ın istənilən qiymətində onun tək dərəcədən kökü yeganədir və              
İstənilən n€N, k€Z, və a,b>0 üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.
                                         
                                                      b    0
                                          (k>0)
                                                     (k>0)
                   Bərabərliyini ödəyən     a, b ədədləri üçün                 bərabərliyi
                   doğrudur.
5  xassənin isbatı
              ədədinin n-ci qüvvəti ak-ya bərabərdir. Doğrudanda



Hesabi kökün tərifinə görə                    
                          Bərabərliyi doğrudur.

Hesabi kökün tətbiqi ilə misal.






Misal:                    müqayisə edin.





 Misal: x4≤54
x4-54≤0                                          +                                 +
f(x)=x4-54 -
x4-54=0
x4=54 (-∞; ), [-         , ], (               )
x=±                
Cavab:

Rasional üstlü qüvvət və onun xassələri.
a>0 ədədinin p=     (m€Z, n€N, n>1) rassional üstlü qüvvəti            ədədinə deyilir və belə işarə olunur.
                         
Sıfırın rassional üstlü qüvvəti ancaq müsbət üstlü qüvvətlər üçün təyin olunur.
0p=0    p>0
Rassional üstlü qüvvətin tərifinə görə



Misal:



Rassional üstlü qüvvət 3 fakta əsaslanır.
1.Rassional üstlü qüvvətin tərifinə görə a>0 olduqda p rassional ədədi üçün ap>0
2.p1= , p2= , k€N, olarsa a>0 üçün ap1=ap2. Doğurdan da


3.a<0 olduqda a ədədinin rassional üstlü qüvvətinin mənası yoxdur.

Məs: mənası yoxdur.
Rassional üstlü qüvvətin aşağıdakı xassələri var.






6.Tutaq ki, 0<a<b şərtini  a və b ədədləri ödəyir və rassional ədəddir. Onda
p>0 olduqda ap<bp
p<0 olduqda ap>bp
7. p və q istənilən rassional ədəddir və p>q olarsa
a>1  olduqda ap>aq
0<a<1 olduqda ap<aq
VI x. İsbatı: əgər    (m,n €N) 0<a<b bərabərliyindən  tam üstlü qüvvətin  
tərifinə görə am<bm alırıq. n-ci dərəcədən hesabi kökün VI x-ın görə
  Buradan

                                     Və ya ap<bp

olarsa alırıq ki, m mənfi tam ədəddir. onda yenə də tam üstlü qüvvətin xassəsinə görə am>bm olur. Hesabi kökün tərifinə görə
Yəni ap>bp olur.
Misal:


472.


İrrassional üstlü qüvvət qüvvət anlayışı.
Həqiqi üstlü qüvvət.
Rassional üstlü qüvvətin tərifindən alınır ki,     a>0 x=p rassional ədədi üçün ax ifadəsinin mənası var. x irrasional ədəd olduqda ax-ı araşdıraq. (dövri olmayan sonsuz onluq kəsr şəklində göstərməklə bilən ədədlərə irrasional ədədlər deyilir.
x=     irrasional ədəd olsun onun əskiyi ilə götür-ş onluq yaxınını pn, artığı ilə götürülmüş onluq yaxınını qn ilə işarə edək. Onda
p1<   <q1
p2< <q2
pn<   <qn
və burada p1<p2<...<pn<..., q1>q2>...qn>... yəni {pn} artan, {qn} azalan rassional ədədlər ardı-dır.
Rassional üstlü qüvvətin xassəsinə əsasən 0<a<1 olduqda ap1>ap2>...>apn>... və
aq1<aq2<...aqn
yəni {apn} azalan, {aqn} isə artan ard-dır. pn<qn<q1 və p1<p2<qn olduğu üçün rassional üstlü qüvvətin xassəsinə görə aq1<apn , apn>aq1. Buradan alınır ki, {apn} ar-ğı azalan və aşağıdan məhdud (aq1 ədədi ilə ) {aqn} ardıcıllığı monoton artan və yuxarıdan məhdud (ap1 əd) ar-dır.
a=1 olduqda 1pn=1, 1qn=1 ol-dan istənilən   α  irrasional ədədi üçün  1 α  =1 olur.
a>1 olduqda {apn} ar-ğı artan və yuxarıdan məhdud (aq1 ədədiylə), {aqn} ar-ğı isə azalan və aşağıdan məhdud (ap1 ədədiylə) artıq olur.
x həqiqi ədədi üçün ax həqiqi üstlü qüvvət anlayışı verilmiş olur. Bununla həm də
müsbət və vahidddən fərqli a ədədi üçün həqiqi ədədlər çoxluğunda y=ax funksiyası təyin olur.
Tərif: a>0, a    1 olduqda y=ax funksiyasına üstlü funksiya deyilir.
Misal 1.32
                əskiyi
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... artığı ilə ğötürülmüş onluq yuxarı
2; 1,5; 1,142; 1,415; 1,143;... şək-r. Bu yaxınlıqların köməyi ilə
31; 3,41;31,414;31,4142;... və
32;31,5; 31,42;31,145; ardıcıllığını düzəldərik.
Rassional üstlü qüvvətin məlum xassələri həqiqi üstlü qüvvət üçün də doğrudur. Istənilən          həqiqi ədədləri a>0, a    1, b>0, b    1 ədədləri üçün







6.0<a<b şərtini ödəyən a,b ədədləri və      irrasional ədədi üçün a>0 olduqda
, a<0 olduqda           bərabərliyi ödənilir.

7.           şərtini ödəyən irrasional ədədləri üçün a>1 olduqda   bərabərliyi , 0<a<1 olduqda            bərabərliyi ödənilir.
8. isə

Çalışma 485






Çalışma 486.




Çalışma 487.









Çalışma 488.






Çalışma 489.







Irrasional tənliklər.
Dəyişəni kök işarəsi altında olan cəbri tənliklərə irrasional tənliklər deyilir.
Məs: tənlikləri irrasional tənliklərdir. Irrasional tənlikləri həll edərkən adətən qüvvətə yüksəltmə əməli tətbiq olunduqdan bu əməl nəticəsində alınan yeni tənlikdə dəyişən mümkün qiymətləri çoxluğu daha geniş çoxluq ola bilər. Yeni tənliyin köklərindən bəziləri verilmiş irrasional tənliyin həlli olmaya bilər. Bunun üçün alınan tənliyin həllinin verilmiş tənliyin həlli olduğunu yoxlamaq lazımdır.
Misal 1.
Hərtərəfli kvadrata yüksəldək.
x4-32=49
x4=81
x1=3, x2=-3;


x=±3 tənliyin köküdür.
Misal 2.
3x+1-4x2+44x-121=0
4x2-47x+120=0
X1=8, x2=4,25    t.k.d

5=5
x=8  t.k
Misal 3.
x3+3x2+2x-5=x3
3x2+2x-5=0
x1=1, x2=          k.k
n=2k+1 olduqda An(x)=Bn(x) ilə A(x)=B(x) eynigüclü ol-dan yalnız tək dərəcədən qüv-mə aparmaqla həll edilən irrasional tənliklərdə alınan kökə verilmiş tənliyi ödəyib, ödəmədiyinin yoxlamağa ehtiyac yoxdur.
N=2n olduqda An(x)=Bn(x) bərabərliyi A(x)=B(x) və A(x)=-B(x) ilə eynigüclü olduğundan cüt dərəcədən qüvvəltmə aparmaqla həll edilən və n dərəcədə tapılan kökün verilmiş tənliyi ödəyib ödəmədiyini yoxlamaq hökmən lazımdır.


Irrasional bərabərsizliklərin həlli.
Məlumdur ki, olduqda ixtiyari müsbət n ədədi üçün a<b bərabərliyi ilə an<bn bərabərliyi eynigüclüdür. Ümumiyyətlə A(x) <B(x) ilə An(x) <Bn(x) eynigüclü deyil.
Irrasional bərabərliklərdə qüv-mə əməli ilə həll ed-dən, belə bərabərliyi həll edən onun hər iki tərəfinin işarəsini nəzərə almaq lazımdır.


(1)
Doğrudanda cüt dərəcəli kökün mənasının olması üçün A(x)    0 hesabi kök mənfi olduğu üçün B(x)>0 olur. a   0,  b   0 olduqda a<b və an<bn bərabərlikləri eynigüclü olduğundan A(x) <B2k(x) və                      bərabərlikləri eynigüclüdür.
Misal 1.      
(1) əsasən






(-∞;-1]V[2;∞)
(-∞;1) və (-∞;3)
x€(-∞;-1]
2.                       bərabərliyi B(x)   0, A(x)>B2k(x) və ya  A(x)   0, B(x)<0 olduqda doğrudur. Ona görə də                      

və ya
Misal 2.







Üstlü funksiyanın tərifi.
a>0, a     1 olduqda y=ax şəklində olan funksiyaya üstlü funksiya, a-ya isə bu funksiyanın əsası deyilir. Həqiqi üstlü qüvvətin xassəsinə əsasən üstlü funksiyanın aşağıdakı xassələri alınır.
1. Üstlü funksiyanın təyin oblastı həqiqi ədədlər çoxluğudur. D(ax)=R
2. Üstlü funksiyanın qiymətlər çoxluğu müsbət ədədlər çoxluğudur. E(ax)=(0;∞)
3. y=ax funksiyası a>1 aralığında artan, 0<a<1 olduqda isə azalan funksiyadır.
4. İstənilən x1, x2 həqiqi ədədləri üçün  ax1*ax2=ax1+x2 ; ax1:ax2=ax1-x2 ;  ax1*ax2=ax1-x2 (ax1)x2=ax1x2 ; (ab)x=axbx ;                 ; (b>0)







y=2x funksiyasının qrafikini quraq. x sərbəst
dəyişəni qeyri-məhdud az-ca y=2x-ın qrafikini y
y=0 d/x –nə qeyri-məhdud yaxınlaşır. Lakin 4
onu kəsmir.y=2x-ın qrafiki (0;1) nöqtəsindən 3
keçir və x qeyri-məhdud art-ca y qeyri-məhdud                                   2
artır.                                                                                                       1
                                                                                       -3  -2  -1  0         1   2   3 x

y
y =        funksiyasının qrafiki (0,1) nöqtəsindən keçir                            4
və x sərbəst dəyişəni qeyri-məhdud aralıqda y=0 d/x-ə                          3
yaxınlaşır, lakin onu kəsmir. Ümumiyyətlə a>1 2
olduqda y=ax funksiyasının qrafiki y=2x, 0<a<1                   -3  -2  -1     0    1   2   3
x
olduqda y=        qrafikinə oxşardır.


Üstlü tənlik anlayışı və onun həll üsulları
Dəyişəni qüvvət üstündə olan tənliklərə üstlü tənliklər deyilir.
Üstlü tənliklər içərisində ən sadəsi ax=b, a>0. a≠1 şəklində olan tənlikdir.
ax funksiyasının qiymətlər çoxluğu müsbət ədədlər çoxluğu olduğundan (ax>0), b≤0 olduqda bu tənliyin həlli yoxdur, b>0 olduqda isə tərs funksiya haqqında teoremə görə ax=b tənliyinin yeganə x0 kökü var.
Üstlü tənliklərin bir neçə həll usulu var
1. Əsasların bərabərləşdirilməsi üsulu ilə həll edilən tənliklə af(x)=aυ(x) (a ≥0; a±1) şəklində olan üstlü tənliklərin həlli onunla eynigüclü olan f(x)=υ(x) tənliyinin həllinə gətirilir.
Misal1.               tənliyini həll edək.
Tənliyi 3x=3-3 şəklində göstərək. Buradan, həqiqi üstlü qüvvətin 8-ci xassəsinə əsasən, əsaslar bərabər olduğuna görə, üstlər də bərabər olar, yəni x=-3
Misal2.                      tənliyini həll edək.
Aydındır ki, bu tənliyi             şəklində yazmaq olar. Buradan, x=1, 5 alarıq.
Qeyd edək ki, at(x)=b şəklində olan tənliklər də oxşar üsulla həll olunur.
2. Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaqla həll edilən tənliklər.
Misal  8x+1-5*8x=24
8x-i mötərizə xaricinə çıxarsaq,
8x=8
x=1
3. Yeni dəyişən daxil etməklə həll edilən tənliklər
Aa2x+Bax+c=0 şəklində tənliklər ax=y>0 əvəzləməsi ilə
Ay2+By+c=0 kvadrat tənliyinin həllinə gətirilir.
Misal 32x+5*3x-6=0            3x=-6
3x=y                                     3x>0 olduğundan həlli yoxdur.
y2+5y-6=0
y1=1    y2=-6
3x=1
3x=30   x=0                                  

Ədədin loqorifmasının tərifi.
b ədədini  almaq üçün a ədədinin yük-yi qüvvət üstünə b ədədinin a əsasının loqorifması deyilir və logab kimi işarə edilir.
ax=b     x=logab
(b>0, a>0, a= 1)
Bu bərabərliyə əsas log-n oy-k deyilir. Ədədin loqorifmasının tapılması loqorifləmə əməli adlanır.
Log5125=3  log3      =
log   16=-4

Onluq loqorifma
Loqorifmaların hesablanmasında onluq loqorifmadan daha çox istifadə olunur. Bu loqorifmaların hesablanması üçün cədvəli tərtib olunur.
Tərif: əsası 10-a bərabər olan loqorifmlərə 10-luq loqorifmlər deyilir. lg kimi işarə olunur. Məs: log109—lg9, log10a—lga.
Tərif: əsası e olan loqorifmə natural loqorifm deyilir.
Əsas loq-k ey-nə əsasən istənilən müsbət ədəd üçün eln x =a. Ona görə  ax-b-i aşağıdakı kimi yazmaq olar.
ax=(eln a)x=exlna
e-irrasional ədəddir və e=2,7182812284
Onluq loqorifmlərin aşağıdakı xassələri var.
1.Ədədin loqorifmi mərtəbə var-də ibarətdirsə onda loqorifm ədədləri sıfırların sayına bərabərdir. Məs: lg 100000=5, lg1000=3
2. Onluq kəsrin loqorifmi bu ədəddəki sıfırların sayına bərabər olan mənfi işarəli ədədə bərabərdir. lg0,0001=-4, lg0,001=-3
3. Mərtəbə vahiddən fərqli olan ədədlərin loqorifmi tam ədəd ola bilməz. Belə ədədlərin onluq loqorifmi irrasional ədəddir.

Hasilin, nisbətin və qismətin loqarişması.
Loqarifmik ifadələrin çevrilməsində, hesablanmasında, eləcə də loqarifmik tənliklər həllində loqarifmanın müxtəlif xassələrindən istifadə olunur.
Loqarifmanın əsas xassələri aşağıdakılardır.
1.loga1=0
2.logaa=1
3.logaxy=logax+logay
4.logax/y=logax-logay
5.logaxp=plogax   (p€R)
6.
Loqorifmik ifadələrin çevrilməsində bir əsasın digər əsasa keçmə düsturu yəni
logab=               (b>0, a>0,c>0,a=1, c =1) düstürundan istifadə olunur.

Əsas loqorifmik eyniliklərdən və qüvvətin log-nın xassəsindən istifadə etməklə bu bərabərliklərdən doğru ol-nu isbat edək.
logcb=log(alogab)=logab*logca
Xüsusi halda b=c olduqda (2) xassəsinə görə alırığ.
logab=1/log0a
Misal:log63+log672=log63*72=log6216=3
log515-log53=log515/3=log55=1

Loqorifmik funksiya, onun xassələri.
Bilirik ki, y=ax (a>0,a=1) üstlü funksiyası artan və azalan funksiyadır. Bu funksiya
(-∞;∞)-da təyin olunub, qiymətlər çoxluğu (0; ∞) aralığıdır. Tərs funksiyanın varlığı haqqında teoremə görə , y=ax funksiyasının (0; ∞) təyin olunan tərs funksiyası var.   y€(0; ∞) üçün ax=y tənliyinin yeganə həlli var, loqorifmanın tərifinə görə
x=logay.
y ilə x-ın yerini dəyişək.
y=logax yazaq.
Tərif: y=logax düsturu ilə verilən funksiyaya əsası a olan loqorifmik funksiya deyilir. Loqorifmik funksiyaların aşağıdakı xassələri var.
1.Loqorifmik funksiyaların təyin oblastı bütün müsbət ədədlər çoxluğudur.
D(logax)= (0; ∞)
2.Funksiyaların qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.
E(logax)=( -∞;∞)                                                                              
 3.Loqorifmik funksiya a>1 olduqda artan,                                    y
0<a<1 olduqda azalan funksiyadır.                                                             y=ax
Qarşılıqlı tərs funksiyaların tərifinə görə y=ax                              (a>1)
funksiyasının qrafikinə y=logax funksiyasının                            1                y=logax
qrafiki y=x, d/x-nə nəzərən simmetrikdir.x>1                                   (a>1)
olduqda x€(0,1) üçün bu funksiyanın qiymətləri                             0       1              x
mənfi, y=ax olduqda x€(1,∞) üçün müsbətdir.
0<a<1 olduqda x€(0.1) üçün bu funksiyanın
qiymətləri müsbət ,x€(1,∞) üçün mənfi olur.          y=x
                                                                               
 Nöqtənin ətrafı anlayışı. Funksiyanın limitinin tərifi.
Limitin xassələri
Verilmiş a nöqtəsini daxilində saxlayan ( ) aralığına a-nın ətrafı deyilir.  >0 ədədi üçün (a-  ; a+ ) aralığına a nöqtəsinin simmetrik ətrafı və ya  ətrafı,  -ya isə onun radiusu deyilir. a nöqtəsinin   ətrafına daxil olan nöqtələr üçün bərabərsizliyi ödənir
<
a nöqtəsinin ətrafından onun özünü atmaqla alınan çoxluğa bu nöqtənin təcrid olunmuş ətrafı deyilir.

Misal Arqumentin x=2 nöqtəsinin yaxın ətrafından götürülmüş bir neçə qiymətində f(x)= x+1 funksiyasının uyğun qiymətləri aşağıdakı cədvəldə verilmişdir
x 1,97 1,98 1,99
2,01 2,o2 2,03
f(x)=x+1 2,97 2,98 2,99
3, 01 3,02 3,03

Göründüyü kimi, x-in qiymətləri 2-yə yaxınlaşdıqca (soldan və ya sağdan) f(x)-in uyğun qiymətləri 3-ə yaxınlaşır. Başqa sözlə,    olduqda  . Bunu belə göstərətycəyik

Funksiyanın nöqtədə limitinə aşağıdakı tərifi vürmək olar.
Tutaq ki, y=f(x) funksiyası a nöqtəsinin hər hansı ətrafında (funksiya a nöqtəsində təyin olunmaya da bilər) təyin olunmuşdur. Əgər arqumentin bu ətrafa daxil olan qiymətlərində a-ya yığılan istənilən x1,x2,....,xn...(xn a, n N) ardıcıllığı üçün funksiyanın uyğun qiymətlərindən düzəldilmiş f(x1), f(x2),..., f(xn),... ardıcıllığı A-ya yığılarsa, A ədədinə y=f(x) funksiyasının a nöqtəsində limiti deyilir və  və ya  olduqda   kimi işarə olunur.
Limitin tərifinə görə  olduqdq  Onda aydındır ki, olduqda  
Deməli,   işarə etsək,  olar və bundan alırıq ki,  olduqda  .
  olduqda f(x) funksiyasının limiti yalnız və yalnız onda A-ya bərabər olar ki,   funksiyasını   olduqda  şərtini ödəyən  üçün

şəklində göstərmək mümkün olsun.
Əgər   olarsa, onda  funksiyası   olduqda sonsuz kiçilən funksiya adlanır.
Məsələn,  funksiyası   olduqda sonsuz kiçilən funksiyadır. Doğrudan da,
                                 
Əgər  olarsa, onda  funksiyasına  olduqda sonsuz böyüyən funksiya deyilir.
Məsələn,   funksiyası  olduqda sonsuz böyüyən funksiyadır, çünki
                                   
IV. Funksiyanın limiti haqqında aşağıdakı teoremlər doğrudur:
1. f(x) funksiyasının a nöqtəsində limiti varsa, yeganədir.
2. f(x) funksiyasının a nöqtəsində limiti varsa, a nöqtəsinin elə təcrid olunmuş ətrafı var ki, funksiya bu ətrafda məhduddur.
3. Əgər  olarsa, onda a-nın elə təcrid olunmuş ətrafı var ki, bu ətrafda funksiyanın işarəsi A-nın işarəsi ilə eynidir.
4. Əgər  isə və a-nın müəyyən təcrid olunmuş ətrafında  olarsa, onda
5. nöqtəsinin müəyyən təcrid olunmuş ətrafında  (və ya  və   isə, onda  
6.  olduqda   və  funksiyalarının limiti varsa, onların cəminin də, hasilinin də limiti var və

                                 .
Xüsusi halda,   Yəni sabiti limit işarəsi qarşısına çıxarmaq olar.


7.  Əgər   olduqda   və   funksiyalarının limiti varsa  və   funksiyasının limiti sıfırdan  fərqlidirsə, bu funksiyaların nisbətinin limiti onların limitləri nisbətinə bərabərdir:        
 i tapaq. Limitin yuxarıdakı xassələrindən istifadə etməklə alarıq:
 Riyaziyyatın əsas anlayışlarından biri də funksiyanın kəsilməzliyi anlayışdır. Tutaq ki,   funksiyası (a; b) aralığında təyin olunmuşdur və  . Əgər

Olarsa, bu funksiyaya x=x0 nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.
Tərifə görə, x0 nöqtəsində kəsilməz olan  funksiyası aşağıdakı şərtləri ödəməlidir:
1.   funksiyası  nöqtəsində təyin olunmalıdır;
2.  nöqtəsində onun sonlu limiti olmalıdır;
3.   funksiyasının   nöqtəsindəki   qiyməti onun bu  (a;b) aralığının bütün nöqtələrində kəsilməz olan funksiyaya bu aralıqda kəsilməz funksiya deyilir.
X0 nöqtəsində kəsilməz olan funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və nisbəti (məxrəcdəki funksiya x0 nöqtəsində sıfırdan fərqli olduqda) bu nöqtədədə kəsilməzdir.
İstənilən  çoxcəhədlisi üçün lim  olduğundan alırıq ki, tam rasional funksiya bütün ədəd   kəsilməzdir.
 funksiyasının x0 nöqtəsində limiti yoxdursa (və ya varsa, lakin  -a bərabər deyilsə), bu funksiya x0 nöqtəsində kəsiləndir və onda xo onun kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Parçada kəsilməz funksiyanın aralıq qiymətləri haqqında teoremlər
Parçada kəsilməz funksiyanın bir çox mühüm xassələri var. Bu xassələri ifadə edən iki teorem verək.
 Teorem 1. (Koşi teoremi)   funksiyası   parçasında kəsilməz olub, onun uc nöqtəsində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa,   parçasının daxilində heç olmasa bir nöqtə var ki, funksiya həmin nöqtədə sıfra çevrilir. Teoremin həndəsi izahını verək.  >0,   <0 olduğu üçün qrafikin uc nöqtələri OX oxundan müxtəlif tərəflərdə yerləşir. Ona görədə funksiya   parçasında kəsilməz olduğundan, bu qrafik Ox oxunu heç olmasa bir nöqtədə kəsməlidir (əks halda  kəsilən olardı) OX oxunu kəsdiyi nöqtədə isə funksiyanın qiyməti sıfra bərabərdir.
                                                                                                 y   f(a)  


                                                                                                0    a                              b      x
              Bunu dəqiq düzəltmək:                                                                                                                          
                                                                                                                                                  f(b)

Teorem 2. (Veyerştras teoremi) Parçada kəsilməz funksiya bu parçada ən kiçik və ən böyük qiymətlərini alır. Parçada kəsilməz funksiya ən kiçik və ən böyük qiymətləri arasındakı hər bir aralıq qiymətlərini alır.
Əgər   funksiyası   aralığında kəsilməzdirsə və sıfra çevrilmirsə, bu aralıqda işarəsini saxlayır.

Arqumentin və funksiyanın artımı.
Bir çox hallarda hər hansı kəmiyyətin özü deyil, onun dəyişməsi daha aktual olur. Məsələn, məhsul istehsalının artımı, havanın rütubətliyinin və ya temperaturun artımı və s. Bu dəyişməni və ya artımı xarakterizə etmək üçün kəmiyyətin aldığı müəyyən qiymətlər fərqini tapmaq lazəm gəlir. Kəmiyyətlər arasındakı asılılıq funksiya ilə ifadə olunduğu üçün, belə hallarda funksiyanın qiymətlər fərqini araşdırmaq zəruri olur. Tutaq ki, x qeyd olunmuş x0 nöqtəsinin hər hansı ətrafından götürülmüş nöqtədir. x-x0 fərqinə arqument artımı deyib  ilə (“delta iks” kimi oxunur) işarə edək:   funksiyasının uyğun nöqtələrdəki qiymətlər fərqini funksiyanın x0 nöqtəsində artımı adlandırıb  ilə (“delta ef” kimi oxunur) işarə edək:     bərabərliyindən   alarıq. Onda funksiya artımı
 olar. x0 nöqtəsi qeyd olunduğundan, funksiya artımı arqument artımından asılıdır və onun funksiyasıdır, yəni  dəyişdikdə  də dəyişir.
Misal x0=1, x=1,1 0lduqda  arqument artımını və  funksiyasının uyğun artımını tapaq:
Misal  x0=-3,  olduqda   funksiyasının x0 nöqtəsindəki artımını tapaq.
 olduğundan,alarıq:
Törəmənin tərifi. Diferensiallanan funksiya.
Funksiyanın diferensialı.
Tutaq ki,    funksiyası  (a;b) aralığında təyin olunmuş funksiyadır və   Tərifə görə, bu nöqtədə funksiyanın artımı   düsturu ilə verilir.   funksiyası x0 nöqtəsində kəsilməzdirsə, bu düsturdan alınır ki,  ,yəni  sonsuz kiçilən olduqda  də sonsuz kiçiləndir.
  funksiyası x0 nöqtəsində kəsilməzdirsə, arqumentin sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da sonsuz kiçilən artımı uyğun olur.
Arqumentin x0 nöqtəsindəki sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da bu nöqtədə sonsuz kiçilən artımı uyğundursa, funksiya bu nöqtədə kəsilməzdir. Arqument artımı ilə funksiya artımı arasındakı bu əlaqədən funksiyanın başqa xassələrini də almaq olar. Bu məqsədlə
  nisbətini düzəldək.
Arqument artımı sıfra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limiti varsa, bu limitə   funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsi deyilir ve bele yazılır:

Misal  funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsini tapaq (burada k və b ədədlərdir).
1. Əvvəlcə,  artımını tapaq:
       
      2.   nisbətini düzəldək:
      3.   limitini hesablayaq:

Demeli,
  düsturunda k=0, b=c (sabit)  olarsa, alarıq ki,   Yəni sabitin törəməsi sıfra bərabərdir.
     Əgər k=1, b=0 olarsa, alarıq ki,
     
  funksiyasının törəməsinin tapılmasına onun diferensiallanması deyilir.
Tutaq ki,   funksiyası   aralığında təyin olunub,   nöqtəsində kəsilməzdir və onun bu nöqtədəki artımını   şəklində göstərmək mümkündür, beləki, A=A(x0) ədəddir və   Onda   funksiyasına x0 nöqtəsində diferensiallanan funksiya,   ifadəsinə isə bu funksiyanın həmin nöqtədə diferenialı deyilir və dy və ya df(x0) kimi işarə olunur.
  funksiyası diferensiallanan isə, onun törəməsi ilə diferensialı arasında   və ya   münasibəti doğrudur. Sərbəst dəyişənin artımı ilə diferensialı bərabərdir. Ona görə də   və   əvəzinə, uyğun olaraq,  və   yazmaq olar.
 Teorem.   funksiyası x0 nöqtəsində diferensiallanan funksiya isə, bu nöqtədə kəsilməzdir.

Cəmin, hasilin, nisbətin və qüvvətin törəməsi
Tutaq ki, u(x) və v(x) funksiyaları istənilən   üçün diferensiallanan funksiyalardır. Onda istənilən x- üçün
1.
2.
3.   (c- sabitdir),
4.  doğrudur. Bu qaydalar diferensiallanmanın əsas qaydaları adlanır.
İsbatı 1. Əgər    işarə ettsək, törəmənin tərifinə görə
 
Şərtə görə u (x), v (x) funksiyaları diferensiallanan olduğundan,   nisbətlərinin   olduqda limiti var. Ona görə  
 Deməli
Misal:
      funksiyasının törəməsini tapaq:
a)  
b)
2.   funksiyasının törəməsini tapaq:
 u və v funksiyalarının diferensisllanan olduğunu nəzərə alaq,
 və   olduğundan alarıq:
.
Misal 2.  funksiyasının törəməsini tapaq.   düsturunun tətbiq etməklə alarıq ki,
3. Əgər, xüsusi halda,   hasilində  (burada c- sabitdir) qəbul etsək,   Yəni  
4. Bir qədər mürəkkəb hesablamalar aparmaqla göstərmək olar ki,  
Misal 3   funksiyasının törəməsini tapaq.
Nisbətin törəməsi düsturunu tətbiq edək;

Istənilən n natural ədədi üçün  
Xüsusi halda, n=1,2,3 olduqda alırıq ki,


Misal 3   funksiyasının törəməsini tapaq.


Misal 4.   funksiyasının törəməsini tapaq.
Mürəkkəb funksiyanın və tərs funksiyanın törəməsi
Teorem.  Tutaq ki,   funksiyası (a; b) aralığında təyin olunub və   nöqtəsində törəməsi var.  funksiyası isə  -in qiymətlər çoxluğunun daxil olduğu aralıqda təyin olunub və  nöqtəsində törəməsi var. Onda   mürəkkəb funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsi var və
İsbatı: Törəmənin tərifinə görə

  funksiyası x0 nöqtəsində diferensiallanan olduğundan,  olduqda  . Onda  
Beləliklə alırıq ki,
Teorem isbat olundu.
Misal1. funksiyasının törəməsini tapaq.   işarə etsək, onda verilmiş funksiya bu funksiyalardan düzəldilmiş mürəkkəb funksiya olar.


Teorem. Tutaq ki,   funksiyasının (a; b) aralığında kəsilməz, monoton funksiyadır və   nöqtəsində sıfırdan fərqli   nöqtəsi var. Onda bu funksiyanın tərsi olan   funksiyasının y0= f(x0) nöqtəsində törəməsi var və
İsbatı. x=g(x) funksiyası   funksiyasının tərsi olduğundan,   bərabərliyi doğrudur. Onda mürəkkəb funksiyanın törəməsi haqqında teoremi tətbiq etməklə
alarıq.
Burdan isə

Triqonometrik funksiyaların, “tərs triqonometrik funksiyaların, üstlü loqarifmik və qüvvət funksiyalarının törəmələri”
    1. Triqonometrik funksiyaların törəməsi
İsbat edək ki, x arqumentinin istənilən qiymətlərində  
Törəmənin tərifinə görə
Sinuslar  fərqinin hasilə çevrilməsi düsturuna görə
  olduğundan,

  olduğunu nəzərə alsaq, axırıncı bərabərlikdən alarıq ki,       funksiyalarının özlərinin təyin oblastlarının hər bir nöqtəsində törəməsi vardır.   və
Çevirmə düsturuna və mürəkkəb funksiyanın törəməsi haqqında teoremə görə

Nisbətin törəməsini tətbiq etsək, alarıq:


Misal.   funksiyasının törəməsini tapaq. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi düsturuna əsasən,


Üstlü funksiyanın, loqarifmik funksiyanın və qüvvət funksiyasının törəməsi

 >0,  ) funksiyasının törəməsini tapmaq üçün əvvəlcə  funksiyasının törəməsini tapaq;  burada e ədədi natural loqarifmanın əsasıdır və məlumdur ki,

Teorem.   funksiyası ədəd oxunda diferensiallanandır və  
İsbatı. Törəmənin tərifinə görə

İsbat olunur ki,  Ona görə sonuncu bərabərlikdən alınır ki,
Teorem isbat olundu.
Misal  funksiyasının törəməsinin x=1 nöqtəsindəki qiymətini tapaq. Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması qaydasına görə

İndi isə  y=ax funksiyasının törəməsini tapaq.
Teorem. y=ax üstlü funksiyası ədəd oxunun hər bir nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi  
İsbatı. Əsas loqorifmik eyniliyə əsasən, y=ax funksiyasını   şəklində yazmaq olar.Onda mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması qaydasına görə
  Beləliklə,      
Teorem.  >  loqarifmik funksiyası müsbət həqiqi ədədlər çoxluğunda diferensiallanandır və
İsbatı.  və   funksiyaları qarşılıqlı  tərs funksiyalardır. Tərs funksiyanın törəməsi haqqında teoremə görə

Qey edək ki, buradan xüsusi halda a=e olarsa, y=lnx funksiyasının törəməsi üçün   düsturunu alarıq.
Teorem. İstənilən a həqiqi ədədi üçün    qüvvət funksiyası müsbət həqiqi ədədlər çoxluğunda diferensiallanandır və  
İsbatı. y=xa funksiyasını   şəklində göstərib, ondan törəmə alaq:
  Yəni

Törəmənin həndəsi mənası, Toxunanın tənliyi
Həndəsə kursunda çevrəyə toxunanın tərifi verilmiş və göstərilmişdir ki, onun çevrə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi var  və tərsinə, düz xəttin çevrə ilə bir ortaq nöqtəsi varsa, bu düz xətt həmin nöqtədə çevrənin toxunanıdır. Çevrə üçün doğru olan bu tərif, ixtiyari əyri üçün, ümumiyyətlə doğru deyil. İxtiyari L əyrisi üzərində qeyd olunmuş A nöqtəsi və ondan fərqli C nöqtəsi götürüb, onlardan AC kəsənini keçirək. C nöqtəsi götürüb, onlardan AC kəsənini keçirək. C nöqtəsi bu əyri üzərində qalmaqla, yerini dəyişdikcə, kəsən A nöqtəsi ətrafında dönəcək. Şəkil 14
Əyri üzərində qalmaqla C nöqtəsi A nöqtəsinə yaxınlaşdıqda AC kəsəninin limit vəziyyəti (əgər belə limit vəziyyəti varsa) olan AT düz xəttinə A nöqtəsində bu əyriyə çəkilən toxunan deyilir.Həndəsə kursundan məlumdur ki, düzbucaqlı koordinat sistemində (x0;y0) nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k-ya bərabər olan düz xəttin tənliyi  şəklindədir. Əgər   olduğunu nəzərə alsaq, (x0;f(x0)) nöqtəsində əyriyə çəkilən toxunanın tənliyi   olar. (1) tənliyinə absisi x0 olan nöqtədə   funksiyasının qrafika çəkilən toxunanın ttənliyi deyilir.
Misal ff(x)=2x3-4x+1 funksiyasının qrafikinə absisi x0=1 olan nöqtədə çəkilən toxunanın tənliyini yazaq.
  olduğundan
(1) düsturundan   və ya   tənliyini alarıq.
Funksiyanın artması və azalması əlamətləri
Törəmənin köməyi ilə funksiyanın monotonluq aralıqlarının, yəni artma və azalma aralıqlarının tapılması aşağıdakı teoremlə verilir.
Teorem1.  (a;b) aralığında diferensiallanan   funksiyası bu aralıqda artırsa, bu aralıqdan götürülmüş istənilən x nöqtəsində   olur.
İsbatı.   funksiyası (a;b) aralığında artan olduğu üçün, x>x0 olduqda f(x) > f(x0),    
 x < x0 olduqda isə f(x) < f(x0). Onda bu aralıqdan götürülmüş istənilən x və x0 (                          
                                                 >0
Bərabərsizliyi doğrudur. f(x) diferensiallanan funksiya olduğundan, bu bərabərsizlikdə   şərti ilə limitə keçək, məlum teoremə görə alarıq ki,
                                       
Teorem isbat olundu.
Teorem 2. (a;b)  intervalında diferensiallanan   funksiyası bu aralıqda azalırsa, bu aralıqdan götürülmüş istənilən x nöqtəsində   olur.
İsbatı. f(x) azalan olduğu üçün,   funksiyası artandır. Ona görə də əvvəlki teoremi tətbiq etməklə   alarıq. Buradan   və ya
  funksiyası (a; b) aralığında artan (azalan) və x=a, x=b nöqtələrində kəsilməz funksiyadırsa, bu funksiya   parçasında artan (azalan) olur.
Laqranj teoremini nəzərdən keçirək.
Teorem (Laqranj).   funksiyası   parçasında kəsilməz və (a;b) aralığında diferensiallanandırsa, elə   nöqtəsi var ki,  bərabərliyi doğrudur.   şəklində yazmaq olar.
Teorem. (a;b) aralığında   funksiyasının törəməsi müsbətdirsə (mənfidirsə), bu funksiya (a;b) aralığında artandır (azalandır).
İsbatı. Teoremi  >0 halı üçün isbat edək  <0 halı üçün teorem oxşar qayda ilə isbat olunur). Tutaq ki,  və x1< x2. Onda Laqranj teoreminə görə elə   ədədi tapmaq olar ki,   Teoremin şərtinə görə  >0 və     x2-x1>0 olduğundan, bu bərabərlikdən alınır ki, f(x2) – f(x1) >0, yəni f(x2)- > f(x1). Bu isə o deməkdir ki,   funksiyası artandır. Teorem isbat olundu.
Funksiyanın böhran nöqtələri. Ekstremum nöqtələri, funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiymətləri
Tutaq ki,   funksiyası   parçasında təyin olunmuş, kəsilməz funksiyadır. Məlumdur ki,   funksiyası   parçasında kəsilməz olduğunda parçada özünün ən böyük, ən kiçik qiymətlərini alır.
 Törəməsin sıfra bərabər olduğu və törəmənin olmadığı daxili nöqtələrə funksiyanın böhran nöqtələri deyilir.
Teorem (Ferma).  Tutaq ki, x0nöqtəsi onun müəyyən ətrafında təyin olunmuş   funksiyanın ekstremum nöqtəsidir və bu nöqtədə   nöqtəsi var. Onda  .
İsbatı. Əksini fərz edək. Tutaq ki,  >0. Törəmənin tərifinə görə,    
                                        >0.  9630301
Burdan isə, limitin tərifinə görə alınır ki, x0- a yaxın olan bütün x-lər üçün  >0
bərabərsizliyi doğrudur. Bu bərabərsizlikdən x>x0 olduqda f(x)>f(x0), x<x0 olduda isə f(x)<f(x0) alarıq. Bu isə x0 nöqtəsinin f(x)-in ekstremum nöqtəsi olması şərtinə ziddir.  <0 halı oxşar qayda ilə araşdırılır). Deməli,  olmalıdır.
Teorem1. Tutaq ki,   funksiyası   aralığında kəsilməzdir və  Əgər   aralığında   varsa  üçün  >0 və  üçün  <0 olarsa, x0 nöqtəsi  -in maksimum nöqtəsidir.
İsbatı.  Teoremin şərtinə görə (a;x0) aralığında  >0,  aralığında  <0 və funksiya x0 nöqtəsində kəsilməz olduğundan, o,   aralığında artan,   aralığında azalandır. Başqa sözlə,   aralığında artan,   aralığında azalandır. Başqa sözlə,  olduqda  <  olduqda  > Deməli   aralığından götürülən bütün   lar üçün  > Yəni xo funksiyanın maksimum nöqtəsidir.
Teorem2. Tutaq ki,   funksiyası  aralığında kəsilməzdir və  . Əgər  və  üçün  >0 olarsa, x0 nöqtəsi  -in minimum nöqtəsidir.
Əgər x0 nöqtəsində törəmə işarəsini “+” dən “-” –yə dəyişirsə, bu nöqtə funksiyanın maksimum nöqtəsi, “-”- dən “+”-ə dəyişirsə, minimum nöqtəsidir.
Yuxarıda verilən teoremlərə və Veyerştras teoreminə əsaslanaraq, verilmiş funksiyanın verilmiş parçada ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması aşağıdakı sxem üzrə aparılır:
1.   funksiyasının   parçasının uc nöqtələrindəki f(a) və f(b) qiymətləri tapılır;
2. funksiyanın törəməsinin (a;b) aralığında sıfır olduğu nöqtələrdə qiymətləri hesablanır;
3. funksiyanın (a;b) aralığında törəməsinin olmadığı nöqtələrdə qiymətləri tapılır;
4. funksiyanın 1)-3) mərhələlərində tapılmış qiymətləri müqayisə olunur və onlardan ən böyüyü və ən kiçiyi götürülür.
Misal  funksiyasının   parçasında ƏBQ və ƏKQ- ni tapın.
1)-4 qaydalarını ardıcıl tətbiq etməklə alarıq;
1) f(-2)=(-2)3+3ּ(-2)2-9(-2)+5=27
f(3)=33+3ˑ32-9ּ3+5=32
2)    yəni 3x2+6x-9=0 tənliyindən x1=-3, x2=1 alarıq,   olduğu üçün, onu  atırıq.   və f(1)=13+3ּ12-9ּ1+5=0;
3) funksiyanın törəməsinin olmadığı nöqtə yoxdur;
4) f(-2)=27, f(3)=32 və f(1)=0 qiymətləri içərisində ən böyüyü 32-yə, ən kiçiyi isə 0-a bərabərdir və deməli,  
Törəmənin tətbiqi ilə funksiyanın araşdırılması və qrafikinin qurulması.
İndiyə qədər funksiyaların qrafiklərini “nöqtələr” vasitəsi ilə qurmuşuq. Lakin belə qurma funksiyanın qrafikinin mühim xassələrinin itirilməsi ilə nəticələnə bilər.
Belə səhvlərin olmaması üçün əvvəlcə funksiya araşdırılmalıdır, onun mühüm xassələri aşkar edildikdən sonra “nöqtələr” vasitəsi ilə qrafik qurula bilər.
1. Əgər   olarsa, y=b düz xəttinə   funksiyasının üfüqi asimptotu  deyilir. Eyni  qayda ilə   olduqda y=b düz xətti  -in üfüqi asimptotu adlanır. Həndəsi olaraq bu o, deməkdir ki, x-in sonsuz böyük qiymətlərində funksiyanın qrafiki y=b düz xəttinə sonsuz  yaxınlaşır.
2. Əgər   olarsa, onda x=a düz xəttinə   funksiyasının şaquli asimptotu deyilir. Şəkildə göründüyü kimi, x-in qiymətləri a-ya yaxınlaşdıqca,  in uyğun qiymətləri sonsuz böyüyür (mütləq qiymətcə).
3. Əgər   olarsa,  düz xəttinə   funksiyasının   olduqda maili asimptotu deyilir.
Buradan      
                   
Funksiyanın qrafikini qurmaq üçün aşağıdakı mərhələləri yerinə yetirmək lazımdır.
1. Funksiyanın təyin oblastını tapmalı (əgər verilmişsə);
2. Funksiyanın  tək və ya cüt olduğunu müəyyən etməli;
3. Funksiyanın dövriliyini araşdırmalı;
4. Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmalı;
5. Funksiyanın kəsilmə nöqtələrini (əgər varsa) tapmalı;
6. Funksiyanın işarəsini sabit saxladığı aralıqları müəyyən etməli. Bunun üçün 4) və 5) mərhələlərində tapılmış nöqtələri absis oxunda qeyd edib, alınan aralıqların hər birində funksiyanın işarəsini tapmalı;
7. Funksiyanın qrafikinin asimptotlarını tapmalı;
8. Funksiyanın artma və azalma aralıqlarını tapmalı;
9. Funksiyanın ekstremum nöqtələrini və ekstremumlarını tapmalı;
10. 1)  ̶9) mərhələlərinin nəticələrini koordinat müstəvisində qeyd etməklə funksiyanın qrafikini qurmalı.
Misal    funksiyasının qrafukini quraq.
      1) Funksiyanın təyin oblası:
2) Funksiya nə tək, nə də cütdür .
3) Funksiya dövri deyilir.
4)   tənliyində funksiyanın sıfırlarını tapırıq:  x1=0, x2=3.   olduğundan qrafik  koordinat başlanğıcından keçir.

Sekil ---------

5) Funksiya kəsilməzdir.
6)   şəklində göstərib, intervallar üsulu ilə funksiyanın   və   aralıqlarının hər birində mənfi,  aralığında isə müsbət qiymətlər aldığını görmək olar . (şəkil 31 a)
7) Funksiya qrafikinin asimptotları yoxdur.
8), 9) Funksiyanın törəməsini tapaq:
x=0 və x=2 olduqda   olur, yəni baxılan funksiyanın iki böhran nöqtəsi var. Böhran nöqtələrini ədəd oxunda qeyd edib, intervallar üsulu ilə hər bir intervalda
 -in işarəsini müəyyən edirik.  (Şəkil 31,b)



0 (0; 2) 2


+ 0 --- 0 +


artır 0
max 
azalır -4
min 
artır

10) Alınmış nəticələrə görə funksiyanın qrafikini qururuq.


Sekil------------------------------------
İbtidai funksiyanın tərifi. Qeyri-müəyyən interval
1. Məlumdur ki, diferensial hesabında funksiya verdildikdə onun törəməsini tapmaq tələb olunur. Lakin bir çox məsələlərdə törəməsinə və ya diferensialına görə funksiyanın özünü tapmaq lazım gəlir. Yəni  funksiyası verildikdə  elə  funksiyası tapmaq tələb olunur ki,                                                        
                                                           
olsun. Belə F(x) funksiyasına f(x)-in ibtidai funksiyası deyilir.
Tutaq ki, f(x) funksiyası müəyyən aralıqda verilmiş kəsilməz funksiyadır.
Verilmiş aralığın bütün nöqtələrində    bərabərliyini ödəyən F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

Misal. Göstərək ki,   funksiyası  aralığında   funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.
Doğrudan da,  aralığının istənilən  nöqtəsində

Teorem. Tutaq ki, F(x) funksiyası verilmiş aralıqda f(x) kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Onda ixtiyari C sabiti üçün:
1)  
funksiyası da həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır;
2) kəsilməz f(x) funksiyasının verilmiş aralıqdakı istənilən ibtidai funksiyası

şəklindədir.
İsbatı. 1) Teoremin şərtinə görə verilmiş aralığın istənilən nöqtəsində

Onda hər hansı C sabiti üçün

alırıq. Bu isə o deməkdir ki, F(x)+C funksiyası da f(x)-in ibtidai funksiyasıdır.
2) Tutaq ki, Ф (x) funksiyası verilmiş aralıqda f(x)-in hər hansı ibtidai funksiyasıdır,yəni    Onda
 alarıq.
Verilmiş aralığın istənilən nöqtəsində  olduğundan, Laqranj teoreminə görə  və ya      
F(x)+C- yə ibtidai funksiyaların ümumi ifadəsi də deyilir.
 Törəməsinə və ya diferensialına görə funksiyanın özünün tapılması əməli, yəni ibtidai funksiyanın tapılması törəmənin tapılmasının tərs əməlidir.Bu əmələ inteqrallama deyilir.
Teorem: Hər bir kəsilməz funksiyanın ibtidai funksiyası var.
Verilmiş f(x) funksiyasının bütün ibtidai funksiyalarının ümumi ifadəsinə onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və    kimi işarə edilir (“inteqral ef iks de iks” kimi oxunur).
Burada f(x)-ə inteqralaltı funksiya, f(x)dx-ə inteqralaltı ifadə, x-ə inteqrallama dəyişəni deyilir,  isə inteqral işarəsini göstərir.
Deməli, tərifə görə   yaza bilərik.
Misal   tapaq.
Qeyri-müəyyən inteqralın tərifinə görə bu,   funksiyasının ibtidai funksiyalarının ibtidai funksiyalarının ümumi ifadəsinin tapılması deməkdir.    olduğundan   alarıq. Deməli  
İbtidai funksiyanın (qeyri-müəyyən inteqralın) əsas xassələri
Qeyri-müəyyən inteqralın aşağıdakı xassələri var.
Xassə1. Qeyri müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya, diferensialı isə inteqralaltı ifadəyə bərabərdir;

İsbatı; Tutaq ki, F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyasıdır:  Onda     yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alsaq,
yəni  
Xassə2. Kəsilməz törəməsi olan F(x) funksiyasının törəməsinin qeyri-müəyyən inteqralı onun özündən sabit toplananla fərqlənir, yəni
Və ya  
Burdan F(x) kəsilməz, diferensiallanan funksiyadır. Bu xassə, bilavasitə, qeyri-müəyyən inteqralın tərifindən alınır.
Xassə 3. Sıfırdan fərqli sabit vuruğu qeyri-müəyyən inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar:

Doğrudan da,   isə,  sabiti üçün
  olduğundan,
  alırıq,


Xassə 4. Cəmin qeyri-müəyyən inteqralı toplananların qeyri-müəyyən inteqralları cəminə bərabərdir:   .
Misal  i tapaq. 3 və 4-cü xassələrini tətbiq etsək,

ayrı-ayrı inteqralları tapa bilərik;

Deməli,

İbtidai funksiyanın tapılmasının üç qaydası
Qayda 1. F(x) funksiyası f(x)-in, G(x) funksiyası g(x)-in ibtidai funksiyasıdırsa, onda F(x)+G(x) funksiyası f(x)+g(x)-in ibtidai funksiyasıdır.
Qayda  2.  F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyası, k isə sabitdirsə, k F(x) funksiyası kf(x)-in ibtidai funksiyasıdır.
Misal   funksiyasının ibtidai funksiyasını tapaq.
 funksiyasının ibtidai funksiyalarından biri  in ibtidai funksiyalarından biri   olduğundan, I və II qaydaya görə   funksiyası   funksiyasının ibtidai funksiyalarından biri olar. Deməli, verilmiş f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi ifadəsi   olar.
Qayda 3.  funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyasıdırsa, k və b sabitləri üçün (   funksiyası f(kx+b)-nin ibtidai funksiyasıdır.
Misal   funksiyasının ibtidai funksiyasını tapaq.
 funksiyasının ibtidai funksiyalarından biri sinx-dır. Onda 3-cü qaydaya görə  funksiyası  ün ibtidai funksiyası olar, yəni


Əyri xətt trapesiyanın sahəsi.
Tutaq ki,   parçasında təyin olunmuş, kəsilməz və mənfi qiymətlər almayan f(x) funksiyası verilmişdir. Yuxarıdan    funksiyasının qrafiki, aşağıdan absis oxu, yanlardan x=a və x=b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqura əyrixətli trapesiya deyilir. Şəkil(39)
əyrixətli trapesiya  şərtlərini ödəyən (x;y) nöqtələri çoxluğudur.
  parçasını  a = x0 < x1 < x2 <...< xn-1 < xn = b
Nöqtələri ilə uzunluqları  olan  kimi n sayda parçaya bölək. Onda əyrixətli trapesiya n sayda daha kiçik əyrixətli trapesiyalara bölünər. Hər bir belə kiçik əyrixətli trapesiyanı düzbucaqlı kimi qəbul edərək, sahəsini hesablaya bilərik. Belə sahələrin cəmi əyrixətli trapesiyanın sahəsinə təxminən bərabər olar.   parçasını daha kiçik hissələrə bölməklə, sahəni daha dəqiq hesablaya bilərik.
  parçasında ci nöqtəsi qeyd edək. Onda   hasili ştrixlənmiş düzbucaqlının sahəsi olar.   cəmini düzəldək.
Bu cəmə f(x) funksiyasının   parçası üzrə inteqral cəmi deyilir.
parçalarının  ən böyüyünün uzunluğu  ilə işarə edək.   parçasının kiçik hissələrə bölünmə qaydasından və bu hissələrdə, ci nöqtələrinin seçilməsindən asılı olmayaraq   varsa, bu limitə əyrixətli trapesiyanın sahəsi deyilir.

Teorem.  f(x) funksiyası    parçasında kəsilməz və mənfi olmayan funksiya, F(x) isə bu parçada onun ibtidai funksiyasıdırsa, onda uyğun əyrixətli trapesiyanın sahəsi ibtidai funksiyanın   parçasında artımına bərabərdir, yəni  
Müəyyən inteqral. Nyton –Leybins düsturu.
 .Tutaq ki, f(x) funksiyası   parçasında kəsilməzdir, F(x) isə onun hər hansı ibtidai funksiyasıdır, yəni
F(b) - F(a) fərqinə f(x) funksiyasının   parçasında müəyyən inteqralı deyilir və bu inteqral     kimi işarə edilir. Deməli,   a-ya inteqralın aşağı sərhəddi, b-yə yuxarı sərhəddi deyilir.
Bu düstura Nyuton-Leybins düsturu deyilir. Müəyyən inteqral ibtidai funksiyanın
parçasındakı artımdır.

Müəyyən inteqralın qiymətini hesablamaq üçün;
1) f(x)-in hər hansı F(x) ibtidai funksiyası tapılır;
2) bu ibtidai funksiyanın b və a nöqtələrindəki F(b) və F(a) qiymətləri hesablanır;
3) F(b)-F(a) fərqi tapılır.
Misal   inteqralını hesablayaq.
x-2 funksiyasının ibtidai funksiyalarından biri   olduğundan,

 . Müəyyən inteqralın aşağıdakı xassələrini qeyd edək.
Xassə 1. Müəyyən inteqralın qiyməti inteqrallama dəyişənindən asılı deyil, yəni
 
Xassə 2.   f(x) funksiyasının üç nöqtələri üst-üstə düşərsə, müəyyən inteqral sıfra bərabərdir.
Xassə 3. Müəyyən inteqralda aşağı və yuxarı sərhədlərin yerini dəyişdikdə inteqralın işarəsi əksinə dəyişir, yəni
     
Doğrudan  da,

Xassə 4. İstənilən a,b və c ( üçün

Bərabərliyi doğrudur.
Xassə 5. İstənilən A( ədədi m müəyyən inteqral işarəsi xaricinə çıxartmaq olar.


Xassə 6. İki funksiyanın cəminin müəyyən inteqralı onların müəyyən inteqrallarının cəminə bərabərdir:

Bu xassənin doğruluğu cəmin ibtidai funksiyasının ibtidai funksiyaların cəminə bərabər olmasından alınır.
Xassə 7. f(x) funksiyası tək funksiya olarsa, istənilən a üçün simmetrik parça üzrə inteqralı sıfra bərabərdir,    
Xassə 8. f(x) funksiyası cüt funksiya olarsa, istənilən a üçün  
Misal:
Müəyyən inteqralların tətbiqləri
Məlumdur ki, yuxarıdan y=f(x) funksiyasının qrafiki, aşağıdan absis oxu, yanlardan isə x=a və x=b düz xətləri ilə əhatə olunmuş əyri xətli trapesiyanın sahəsi
     
düsturu ilə hesablanır.
 parçasında kəsilməz funksiya müsbət olmayan qiymətlər alırsa,  onda uyğun əyri xətli trapesiyanın sahəsini      və ya   düsturu ilə hesablamaq lazımdır.
Əgər f(x) funksiyası   parçasında kəsilməz olub, müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa,   parçasını elə hissələrə bölmək lazımdır ki, bu hissələrin hər birində funksiya öz işarəsini sabit saxlasın, sonra uyğun düsturlarla bu hissələrin hər birində uyğun sahələri hesablamaq və alınan nəticələri toplamaq lazımdır.  Şəkli 51
f1(x) və f2(x) kəsilməz funksiyalarının qrafikləri, x=a və x=b düz xətləri ilə hüdudlanmış sahəni   olduqda     və ya

Ümumi halda sahə    düsturu ilə hesablanır.
ədədi tapmaq olar ki,  .Teoremin şərtinə görə  >0 və
 x2-x1->0 olduğundan bu bərabərlikdən alınır ki, >0, yəni  > . Bu isə o deməkdir ki,   funksiyası artandır.Teorem isbat okubdu
Çoxluqlar cəbrinin əsas xassələri
Çoxluqlar nəzəriyyəsinin çoxluqlar üzərində təyin edilmiş əməllərin xassələrini öyrənən bölməsinə çoxluqlar cəbri deyilir.
Çoxluqlar cəbrinin əsas əməllərini xatırladaraq onların ödədiyi başlıca xassələri sadalayaq.
. Birləşmə əməli.  A və B çoxluqlarının birləşməsi   və ya   çoxluğuna deyilir.
 Kəsişmə əməli.  və çoxluğuna A və B çoxluqlarının kəsişməsi deyilir.
                                                                           
                 
Çoxluqların birləşmə və kəsişməsi əməllərinin 1-5 xassələri ədədlər üzərində toplama və vurma əməllərinin yerdəyişmə, qruplaşdırma, paylama qanunlarına oxşardır, 6-8 xassələrinə uyğun bərabərliklər isə ədədlər üçün doğru olmaya bilər.
Fərq və tamamlama əməlləri. A\B=  çoxluğuna A çoxluğu ilə B çoxluğunun fərqi deyilir.   olarsa,                                                                                    
Aydındır ki, A\ A= Ø; A\ Ø= A; Ø\ A= Ø.
Konkret məsələləri həll edərkən baxılan çoxluqlar müəyyən bir U çoxluğunun alt çoxluqları olur. Belə çoxluğa universal və ya əsas çoxluq deyilir. Qeyd olunmuş universal çoxluqda A-nın U-ya tamamlayıcısı  ilə işarə edilir, yəni
.
               
Qeyd edək ki, istənilən   çoxluğu üçün   ∩U=A; A∪U=U; U\ =A;
A\ U=Ø; A∩ =Ø; A∪ =U xassələri doğrudur. Tamamlama əməlinin iki mühüm xassəsini ayrıca qeyd edək;
a) İstənilən  A⊂U və üçün  =A;
b) Ø,= U;  Ø.
IV. De Morqan qanunları.
İstənilən A⊂U və B⊂U çoxluqları üçün
( ∩ (A U B =  ∩  xassələri ödənir. Bu xassələrdən birincisin isbat edək.  (A ∩ ∩ və ya  və ya  U  .
Çoxluqlar üzərində təyin edilmiş əməllərlə verilən riyazi ifadələrə çoxluq cəbri ifadələri deyilir.
                                                  Permuntasiyalar.
Sadə bir məsələdən başlayaq.
Məsələ 1. Üç kitabı bir rərfdə neçə üsulla sıraya düzmək olar?
Həlli.  Kitabları a, b və c hərfləri ilə işarə edək.
Sırada: 1) a kitabı əvvəl gələrsə, düzülüşün abc, acb variantları;
2) b kitabı əvvəl gələrsə, düzülüşün bac, bca variantları;
3) c kitabı əvvəl gələrsə, düzülüşün cab, cba variantları mümkündür.
 Deməli, üç kitabı bir rəfdə 6 müxtəlif üsulla sıraya düzmək olar.
Göründüyü kimi, bütün müxtəlif düzülüşlər yalnız kitabların sıradakı yerlərinə görə fərqlənirlər.
Elementləri verilmiş sonlu çoxluğun elementlərindən yalnız sıra ilə fərqlənən nizamlı çoxluğa həmin çoxluğun permutasiyası və ya yerdəyişməsi deyilir.
Teorem.  n elementi çoxluğu bütün mümkün permutasiyalar sayı   Pn =n!-dir.
İsbatı. Tutaq ki,   müəyyən n elementli çoxluqdur.
A çoxluğunun hər  hansı permutasiyası onun  elementlərinin seçilərək, 1,2,...,n ədədləri ilə nömrələnmiş nizamlı sıraya düzülüşüdür.



Permutasiyanın 1-ci elementini n elementli A çoxluğundan n üsulla; 2 –ci elementini  qalan  n-1 elementi çoxluqdan n-1 üsulla; istənilən k- cı elementini n-(k-1) elementi çoxluqda
n-(k-1) üsulla və i.a.; nəhayət, (n-1)-ci elementini qalan 2 elementli çoxluqdan 2 üsulla və n-ci (sonuncu) elementini 1 elementli çoxluqdan 1 üsulla seçmək olar.
Onda  bütün mümkün permutasiyalar  sayı, vurma prinsipinə görə,
 olar

Bəzi məsələlərdə müəyyən sonlu çoxluqdan həm elementlərinə, həm də elementlərinin sırasına görə fərqlənən alt çoxluqları seçmək lazım gəlir.
Məsələ    çoxluğunun bütün mümkün 3 elementli nizamlı alt çoxluqlarının sayını tapaq .
A çoxluğunun 3 elementli nizamlı alt çoxluqlarını d, c, b və a elementlərinin birinin iştirak  etmədiyi siniflərə ayıraq:
  A çoxluğunun hər hansı 3 elementi nizamlı alt çoxluğu bu çoxluqlardan birinin permutasiyasıdər. Deməli , A çoxluğunun bütün mümkün 3 elementli nizamlı alt çoxluqları  A1, A2, A3  və A4 çoxluqlarının

Permutasiyalarından ibarətdir.
Dörd sətrin hər birində P3 sayda element olduğundan, axtarılan say    olacaqdır.
n elementli çoxluğun k elementli nizamlı alt çoxluğuna n elementli çoxluğu k elementli aranjemanı deyilir.    və n elementli çoxluğun k elementli aranjemanı elə k elementli permutasiyadır. Baxılan məsələdə 4 elementli   çoxluğunun 3 elementli mümkün aranjemanlar sayı 24-dür.
n elementli çoxluğun mümkün k elementli aranjemanları sayını tapaq, n elementli çoxluğun k elementli aranjemanları sayı  ilə işarə edilir və “aranjeman n elementdən k” kimi oxunur (A-fransızca arrangement-düzmə nizamlama sözünün ilk hərfidir).
Teorem. n elementli çoxluğun bütün mümkün k elementli aranjemanları  sayı
 düsturu ilə tapılır.
    (0!=1 qəbul edilir).
Bir çox məsələlərin həllində verilmiş çoxluqdan yalnız müxtəlif alt çoxluqlar götürmək mümkündür. Məsələn,  çoxluğunun belə 3 elementi mümkün alt çoxluqları
  çoxluqlarıdır.
n elementi çoxluğun k elementli müxtəlif alt çoxluqlarının hər birinə n elementli çoxluğun k elementi kombinezonu deyilir.
 n elementli çoxluğun bütün mümkün k elemenli alt çoxluqlarının sayı   ilə işarə edilir (C-fransızca combinasion-birləşmə sözünün ilk hərfidir) və “kombinezon n elementdən k” kimi oxunur. Kombinezonlar bir birindən yalnız element ilə fərqlənir.
n elementli çoxluğun bütün mümkün k elementli kombinezonları sayı
    düsturu ilə tapılır.
Xassə 1.

Xassə 2.    burdanda  

Gündəlik həyatda müxtəlif hadisələri müşahidə edir, çoxsaylı təcrübə, sınaq və müşahidələrin nəticələri ilə rastlaşırıq. Müəyyən şərtlər ödəndikdə bəzi hadisələr həmişə baş verir. Məsələn, p=760mmc.s. normal atmosfer təzyiqində və 1000C temperaturda kimyəvi təmiz su qaynayır və buxara çevrilir; normal qapalı dövrədə elektrik cərəyanı yaranır və s. Belə hadisələrə determinik (nəticələri əvvəlcədən bir qiymətli müəyyən oluna bilər) hadisələr deyilir.
  Lakin cəmiyyətdə və təbiətdə baş verən hadisələrin hamısı determinik hadisələr deyil. Əkilən toxumun hansı hissəsi cücərəcək ; atılan güllə hədəfə dəyəcəkmi; metal pul atılarkən qerb, yoxsa rəqəm üzü düşəcək; zərin atılmasında hansı üz yuxarıya düşəcək və s. belə hadisələrə misaldır.
  Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin nəticəsinə  hadisə dəeyilir. Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin nəticəsində baş verə bilən və ya baş verə bilməyən istənilən hadisəyə təsadüfi hadisə deyilir. Məsələn, 5 dəfə atılan metal pulda 3 dəfə qerb üzünün yuxarı düşməsi, lotereya biletinin udması və s. təsadüfi hadisələrdir.
 Riyaziyyatın təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluğunu öyrənən bölməsi ehtimal nəzəriyyəsi adlanır. Bu nəzəriyyə ayrı-ayrı hadisələri deyil, keçirilmiş çoxsaylı sınaqların nəticələrini, yəni kütləvi təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluqlarını öyrənir.
    Sınaq, təcrübə və ya müşahidə nəticəsində hökmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir. Məsələn, zərin atılma sınağında düşən xallar sayının natural ədəd olması yəqin hadisədir.
 Sınaq, təcrübə və ya müşahidə nəticəsində heç zaman baş verməyən hadisəyə mümkün olmayan hadisə deyilir. Məsələn, zərin atılması sınağında düşən xallar sayının 6-dan çox olması mümkün olmayan hadisədir.
 Şərti olaraq hadisələr mürəkkəb (ayrılan) və elementar (ayrılmayan) hadisələrə bölünür.
Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin hər bir ayrılmayan nəticəsinə  elementar hadisə deyilir. Bütün elementar hadisələr çoxluğuna isə elementar hadisələr fəzası və ya sınaq fəzası deyilir. Adətən, elementar hadisələr fəzası U ilə işarə edilir.
Müəyyən sınaq və ya müşahidənin bütün mümkün nəticələri E1, E2,...En elementar hadisələri olarsa, elementar hadisələr fəzası   olar.

Bütün nəticələri A və ya B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan hadisəyə  A və B hadisələrinin birləşməsi  deyilir və A∪B ilə işarə edilir.
Nəticələri həm A hadisəsinə, həm də B hadisəsinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin kəsişməsi deyilir və A∩kimi işarə olunur.
Ortaq nəticələri olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir.
A hadisəsinə daxil olmayan bütün nəticələr çoxluğuna A hadisəsinin əks hadisəsi deyilir və   kimi işarə olunur.
Əgər A hadisəsinin hər bir nəticəsi həm də B hadisəsinin nəticəsidirsə, deyilir ki, A hadisəsi B hadisəsini doğurur və ya B hadisəsi A hadisəsinin nəticəsidir və bu fakt A⊂Bkimi yazılır.
Nəticələri B hadisəsinə daxil olmayıb, yalnız A hadisəsinə daxil olan hadisəyə A hadisəsi ilə B hadisəsinin fərqi deyilir və A/B kimi işarə olunur.

Eyni ehtimallı hadisələr. Əlverişli hallar

   Tutaq ki, müəyyən sınaq çoxlu sayda təkrarlanır və hər dəfə bizi maraqlandıran A hadisəsinin baş  verib-vermədiyi qeydə alınır. Sınaqların ümumi sayını n ilə, n sınaq  zamanı A hadisəsinin baş verdiyi sınaqların sayını isə n (A) ilə işarə edək.   nisbətinə  A hadisəsinin bu sınaqlar seriyasında tezliyi  deyilir.
Eyni şəraitdə və eyni şərtlərlə eyni bir sınağın çoxsaylı təkrarı zamanı gözlənilən nəticənin tezliyi təxminən eyni olub müəyyən bir sabit ədəddən az fərqlənir. Həmin ədədə A hadisəsinin ehtimalı deyilir və P(A) ilə işarə edilir. Təsadüfi hadisənin ehtimalını çoxsaylı sınaqlar seriyasının tezliyi ilə təqribən qiymətləndirmək olar:

   Eyni şəraitdə və eyni şərtlər daxilində sınağın baş verən elementar hadisələrinin birinin digərindən heç bir üstünlüyü yoxdursa, onlara eyni imkanlı hadisələr deyilir.
Ahadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayının bütün eyni imkanlı hadisələr sayına nisbətinə A hadisəsinin ehtimalı deyilir və P(A) ilə işarə edilir.
Deməli,                                  
Xassə. Eyni imkanlı E1,...,En elementar hadisələri eyni ehtimallıdır və bu ehtimalların cəmi  
  1-ə bərabərdir.
  Məsələ. 1000 biletli lotoreyanın 150-si uduşludur. Alınmış bir biletin uduşulu olması ehtimalını tapın.
 Alınmış biletin udması hadisəsini A ilə işarə edək. Ümumi nəticələrin sayı n=1000, əlverişli nəticələrin sayı isə n(A)=150 olduğundan